Resultados de Aprendizaje. Utiliza un cambio de variable para determinar la integral de una función
compuesta.

Evaluar la integral dada realizando la sustitución adecuada.

Resultados de Aprendizaje. Utiliza un cambio de variable para determinar la integral de una función
compuesta.

Ask by Powers Schofield. in Colombia

Mar 19,2025

Question

Resultados de Aprendizaje. Utiliza un cambio de variable para determinar la integral de una función
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Para evaluar la integral

$$
\int_{0}^{2} \frac{\sec ^{2}\left(\frac{1}{x}\right)}{x^{2}} d x,
$$

realizaremos un cambio de variable.

### Paso 1: Elegir la sustitución

Observamos que la función $$\sec^2\left(\frac{1}{x}\right)$$ sugiere que podemos usar la sustitución $$u = \frac{1}{x}$$. Entonces, derivamos $$u$$ respecto a $$x$$:

$$
u = \frac{1}{x} \implies x = \frac{1}{u} \implies dx = -\frac{1}{u^2} du.
$$

### Paso 2: Cambiar los límites de integración

Cuando $$x = 0$$, $$u$$ tiende a $$\infty$$ (ya que $$\frac{1}{0}$$ es indefinido). Cuando $$x = 2$$, $$u = \frac{1}{2}$$. Por lo tanto, los nuevos límites de integración son de $$\infty$$ a $$\frac{1}{2}$$.

### Paso 3: Sustituir en la integral

Sustituyendo $$u$$ y $$dx$$ en la integral, tenemos:

$$
\int_{\infty}^{\frac{1}{2}} \frac{\sec^2(u)}{\left(\frac{1}{u}\right)^2} \left(-\frac{1}{u^2}\right) du.
$$

Simplificando la expresión:

$$
= \int_{\infty}^{\frac{1}{2}} \sec^2(u) \cdot u^2 \cdot \left(-\frac{1}{u^2}\right) du = -\int_{\infty}^{\frac{1}{2}} \sec^2(u) du.
$$

### Paso 4: Cambiar los límites de integración

Cambiamos los límites de integración, lo que cambia el signo:

$$
= \int_{\frac{1}{2}}^{\infty} \sec^2(u) du.
$$

### Paso 5: Evaluar la integral

La integral de $$\sec^2(u)$$ es $$\tan(u)$$:

$$
= \left[ \tan(u) \right]_{\frac{1}{2}}^{\infty}.
$$

### Paso 6: Evaluar los límites

Evaluamos los límites:

1. Cuando $$u \to \infty$$, $$\tan(u)$$ tiende a $$\infty$$.
2. Cuando $$u = \frac{1}{2}$$, $$\tan\left(\frac{1}{2}\right)$$.

Por lo tanto, la integral se evalúa como:

$$
\infty - \tan\left(\frac{1}{2}\right) = \infty.
$$

### Conclusión

La integral diverge, es decir:

$$
\int_{0}^{2} \frac{\sec ^{2}\left(\frac{1}{x}\right)}{x^{2}} d x = \infty.
$$
La integral diverge, es decir, su valor es infinito.

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