341 Un quadrato avente il perimetro di 80 cm è equivalente ai \( \frac{2}{7} \) di un trapezio rettangolo. Calcola l'area di un rettangolo avente le dimensioni congruenti alle due basi del trapezio sapendo che l'altezza e la differenza delle due basi del trapezio misurano rispettivamente 40 cm e 30 cm .

Iniziamo calcolando il lato del quadrato. Dato che il perimetro è 80 cm, il lato sarà \( \frac{80 \, \text{cm}}{4} = 20 \, \text{cm} \). Adesso, sappiamo che il quadrato è equivalente a \( \frac{2}{7} \) del trapezio rettangolo. Quindi, l'area del trapezio è: \[ \text{Area del trapezio} = \frac{7}{2} \times \text{Area del quadrato} = \frac{7}{2} \times (20 \, \text{cm})^2 = \frac{7}{2} \times 400 \, \text{cm}^2 = 1400 \, \text{cm}^2. \] Il trapezio ha due basi, che chiamiamo \( b_1 \) e \( b_2 \), e l'altezza \( h = 40 \, \text{cm} \) e la differenza tra le basi è \( b_1 - b_2 = 30 \, \text{cm} \). Utilizzando la formula dell'area del trapezio: \[ \text{Area} = \frac{(b_1 + b_2)}{2} \times h, \] possiamo riorganizzarla per trovare \( b_1 \) e \( b_2 \): \[ 1400 = \frac{(b_1 + b_2)}{2} \times 40, \] \[ b_1 + b_2 = \frac{1400 \times 2}{40} = 70 \, \text{cm}. \] Adesso abbiamo un sistema: 1. \( b_1 + b_2 = 70 \) 2. \( b_1 - b_2 = 30 \) Sommiamo le due equazioni: \[ 2b_1 = 100 \quad \Rightarrow \quad b_1 = 50 \, \text{cm}, \] \[ b_2 = 70 - 50 = 20 \, \text{cm}. \] Ora abbiamo le due basi \( b_1 = 50 \, \text{cm} \) e \( b_2 = 20 \, \text{cm} \). L'area del rettangolo che ha come dimensioni le basi del trapezio è: \[ \text{Area del rettangolo} = b_1 \times b_2 = 50 \, \text{cm} \times 20 \, \text{cm} = 1000 \, \text{cm}^2. \] Quindi, l'area del rettangolo è \( 1000 \, \text{cm}^2 \).