- $$ \|A\|=2 $$. - $$ A $$ es perpendicular a $$ B-A $$ - El ángulo entre $$ A $$ y $$ B $$ es de $$ 45^{\circ} $$.

Question

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1. Dado que $$ \|A\|=2 $$, se tiene que

$$
   A\cdot A = \|A\|^2 = 4.
   $$

2. La condición de que $$ A $$ es perpendicular a $$ B-A $$ se traduce en

$$
   A\cdot (B-A) = 0.
   $$

Al desarrollar el producto escalar:

$$
   A\cdot B - A\cdot A = 0 \quad \Rightarrow \quad A\cdot B = A\cdot A = 4.
   $$

3. Se sabe que el ángulo entre $$ A $$ y $$ B $$ es de $$ 45^{\circ} $$, y por la definición del producto escalar:

$$
   A\cdot B = \|A\|\|B\|\cos{45^{\circ}}.
   $$

Como $$\cos{45^{\circ}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ y $$\|A\|=2$$, se tiene

$$
   A\cdot B = 2\|B\|\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\|B\|.
   $$

4. Al igualar las expresiones obtenidas para $$ A\cdot B $$:

$$
   4 = \sqrt{2}\|B\|.
   $$

Despejamos $$ \|B\| $$:

$$
   \|B\| = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}.
   $$

La solución es que la norma de $$ B $$ es

$$
\|B\| = 2\sqrt{2}.
$$
La norma de $$ B $$ es $$ 2\sqrt{2} $$.

- \( \|A\|=2 \). - \( A \) es perpendicular a \( B-A \) - El ángulo entre \( A \) y \( B \) es de \( 45^{\circ} \).