76. Se tiene una población formada por cinco números enteros positivos distintos entre sí. Se puede determinar el promedio de la población, si: (1) El rango de la población es 8 (2) Al extraer dos muestras distintas de tamaño 3, los promedios de ellas son 3 y 4 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

Para resolver el problema, analicemos las condiciones dadas y determinemos si podemos encontrar el promedio de la población. ### Condiciones 1. **Rango de la población es 8**: Esto significa que la diferencia entre el número más grande y el más pequeño de la población es 8. Si llamamos \( m \) al número más pequeño y \( M \) al número más grande, podemos expresar esto como: \[ M - m = 8 \] 2. **Promedios de dos muestras de tamaño 3 son 3 y 4**: Esto implica que al extraer dos grupos de tres números de la población, los promedios de esos grupos son 3 y 4. Si llamamos a los números de la población \( a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 \), podemos expresar los promedios de las muestras como: \[ \frac{a_1 + a_2 + a_3}{3} = 3 \quad \text{y} \quad \frac{a_4 + a_5 + a_6}{3} = 4 \] Esto implica que: \[ a_1 + a_2 + a_3 = 9 \quad \text{y} \quad a_4 + a_5 + a_6 = 12 \] ### Análisis de las condiciones 1. **Condición (1)**: Con el rango de 8, sabemos que hay una diferencia fija entre el número más pequeño y el más grande, pero no tenemos información suficiente sobre los valores intermedios. Por sí sola, esta condición no nos permite determinar el promedio de la población. 2. **Condición (2)**: Con los promedios de las muestras, podemos deducir que la suma total de los números en la población es: \[ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 9 + 12 = 21 \] Por lo tanto, el promedio de la población se puede calcular como: \[ \text{Promedio} = \frac{21}{5} = 4.2 \] Esta condición por sí sola es suficiente para determinar el promedio de la población. ### Conclusión Dado que la condición (2) por sí sola es suficiente para determinar el promedio de la población, la respuesta correcta es: **B) (2) por sí sola**.