determine mediante la aplicacion de las reglis correspondientes la primera derivada de la siguiente fincion: $$ f(U)=\ln \left(U^{2} \sqrt{1-U}\right) $$

Question

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Para encontrar la derivada de

f(U) = ln (U² · √(1 – U))

procedemos en dos pasos: primero simplificamos la función y luego utilizamos las reglas de derivación correspondientes.

1. Simplificación usando propiedades logarítmicas:

Recordemos que ln(a · b) = ln a + ln b y que √(1 – U) = (1 – U)^(1/2). Así, podemos escribir:

f(U) = ln(U²) + ln((1 – U)^(1/2))
     = 2 ln U + ½ ln(1 – U)

2. Derivación:

Derivamos cada término por separado:
  
– La derivada de 2 ln U es:
  (2 ln U)' = 2 · (1/U) = 2/U

– La derivada de ½ ln(1 – U) es:
  (½ ln(1 – U))' = ½ · [1/(1 – U)] · (d/dU)(1 – U)

Recordando que (1 – U)' = –1, tenemos:
  (½ ln(1 – U))' = ½ · [1/(1 – U)] · (–1) = –1/(2(1 – U))

Por lo tanto, la derivada completa es:

f '(U) = 2/U – 1/(2(1 – U))

Este es el resultado final.
La primera derivada de la función $$ f(U) = \ln \left(U^{2} \sqrt{1-U}\right) $$ es: $$ f'(U) = \frac{2}{U} - \frac{1}{2(1 - U)} $$

determine mediante la aplicacion de las reglis correspondientes la primera derivada de la siguiente fincion: \( f(U)=\ln \left(U^{2} \sqrt{1-U}\right) \)

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