Pregunta
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Rationalize the denominator. Assume that all variables represent positive real numbers. \( \frac{-4}{\sqrt{x}-5} \) \( \frac{-4}{\sqrt{x}-5}=\square \) (Simplify your answer. Type an exact answer, using radicals as needed.)

Ask by Bowman Stanley. in the United States
Mar 14,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

Responder

\[ \frac{-4(\sqrt{x}+5)}{x-25} \]

Solución

Multiply the numerator and denominator by the conjugate \( \sqrt{x}+5 \): \[ \frac{-4}{\sqrt{x}-5} \cdot \frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+5} = \frac{-4(\sqrt{x}+5)}{(\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5)} \] Simplify the denominator using the difference of squares formula: \[ (\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5) = (\sqrt{x})^2 - 5^2 = x - 25 \] Thus, the expression becomes: \[ \frac{-4(\sqrt{x}+5)}{x-25} \]

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Beyond the Answer

To rationalize the denominator of \( \frac{-4}{\sqrt{x}-5} \), you multiply the numerator and the denominator by the conjugate of the denominator, which is \( \sqrt{x}+5 \): \[ \frac{-4}{\sqrt{x}-5} \cdot \frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+5} = \frac{-4(\sqrt{x}+5)}{(\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5)} \] The denominator simplifies as follows: \[ (\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5) = (\sqrt{x})^2 - 5^2 = x - 25 \] Now, substituting back into the expression we have: \[ \frac{-4(\sqrt{x}+5)}{x-25} \] Distributing the numerator gives: \[ \frac{-4\sqrt{x} - 20}{x-25} \] Thus, the rationalized form of \( \frac{-4}{\sqrt{x}-5} \) is: \[ \frac{-4\sqrt{x} - 20}{x-25} \]

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