Example2: $$ y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=x e^{x} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

# حل المعادلة التفاضلية

لدينا المعادلة  
$$
y''+y'-2y=x e^{x}
$$
نقسم الحل إلى جزأين: الحل العام للمعادلة المتجانسة والحل الخاص للمعادلة الكاملة.

---

## 1. حل المعادلة المتجانسة

المعادلة المتجانسة تصاحب المعادلة تعطى بـ:
$$
y''+y'-2y=0
$$

**أولاً:** نفرض أن حل المعادلة بالشكل $$ y=e^{rx} $$ فيؤدي إلى معادلة كثير الحدود المميزة:
$$
r^2+r-2=0
$$

**ثانياً:** نحل المعادلة:
$$
r^2+r-2=(r+2)(r-1)=0
$$
فيكون لدينا جذران:
$$
r=-2 \quad \text{و} \quad r=1
$$

**إذًا**, يكون الحل العام للمعادلة المتجانسة:
$$
y_h = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{x}
$$
حيث $$ C_1 $$ و $$ C_2 $$ ثوابت تعيينها بناءً على الشروط الابتدائية.

---

## 2. إيجاد الحل الخاص $$ y_p $$

نظرًا لأن الحد الحر في المعادلة الكاملة هو $$ x e^x $$، وبما أن $$ e^x $$ هو جزء من الحل المتجانس (أي يتوافق مع الجذر $$ r=1 $$)، فإننا سنضرب التخمين في $$ x $$ لتجنب التداخل مع الحل المتجانس.  
نختار التخمين:
$$
y_p = x\left(Ax+B\right)e^{x} = \left(Ax^2+Bx\right)e^{x}
$$
حيث $$ A $$ و $$ B $$ ثوابت نحددها.

### حساب المشتقات

**المشتقة الأولى:**
$$
\begin{aligned}
y_p &= e^{x}(Ax^2+Bx)\[1mm]
y'_p &= e^{x}(Ax^2+Bx) + e^{x}\left(2Ax+B\right)\[1mm]
    &= e^{x}\Bigl(Ax^2+\underbrace{(B+2A)}_{\text{معامل }x}x+B\Bigr)
\end{aligned}
$$

**المشتقة الثانية:**
$$
\begin{aligned}
y''_p &= \frac{d}{dx}\left[e^{x}\Bigl(Ax^2+(B+2A)x+B\Bigr)\right] \[1mm]
      &= e^{x}\Bigl(Ax^2+(B+2A)x+B\Bigr) + e^{x}\Bigl(2Ax+(B+2A)\Bigr)\[1mm]
      &= e^{x}\Bigl[Ax^2 + (B+2A+2A)x + \bigl(B+(B+2A)\bigr)\Bigr]\[1mm]
      &= e^{x}\Bigl[Ax^2 + (B+4A)x + (2B+2A)\Bigr]
\end{aligned}
$$

### التعويض في المعادلة

نعوض $$ y_p $$ ومشتقاتها في المعادلة:
$$
y''_p+y'_p-2y_p=x e^{x}
$$

بالتعويض نحصل على:
$$
\begin{aligned}
y''_p+y'_p-2y_p &= e^{x}\Bigl[ Ax^2+(B+4A)x+(2B+2A)\Bigr] \
&\quad + e^{x}\Bigl[ Ax^2+(B+2A)x+B\Bigr] \
&\quad -2e^{x}\Bigl[ Ax^2+Bx\Bigr]
\end{aligned}
$$

نجمع الحدود بنفس ترتيب القوى:

1. حدود $$ x^2 $$:
$$
A + A - 2A = 0
$$

2. حدود $$ x $$:
$$
(B+4A) + (B+2A) - 2B = 6A
$$

3. الحد الثابت:
$$
(2B+2A) + B = 2A+3B
$$

إذًا تصبح المعادلة:
$$
e^{x}\Bigl[6Ax + (2A+3B)\Bigr] = x e^{x}
$$

نقسم الطرفين على $$ e^{x} $$ (وهو غير صفر):
$$
6Ax + (2A+3B) = x
$$

نقارن معاملات الحدود:

- معامل $$ x $$:
$$
6A=1 \quad \Longrightarrow \quad A=\frac{1}{6}
$$

- الثابت:
$$
2A+3B=0 \quad \Longrightarrow \quad 2\left(\frac{1}{6}\right)+3B=0 \quad \Longrightarrow \quad \frac{1}{3}+3B=0 \quad \Longrightarrow \quad B=-\frac{1}{9}
$$

$$
\text{إذًا}: \quad A=\frac{1}{6}, \quad B=-\frac{1}{9}
$$

ينتج الحل الخاص:
$$
y_p = e^{x}\left(\frac{1}{6}x^2-\frac{1}{9}x\right)
$$

---

## 3. الحل العام للمعادلة التفاضلية

بدمج الحل المتجانس والحل الخاص نحصل على:
$$
y = y_h+y_p = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{x} + e^{x}\left(\frac{1}{6}x^2-\frac{1}{9}x\right)
$$

هذا هو الحل العام للمعادلة المعطاة.

الحل العام للمعادلة التفاضلية هو: $$ y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{x} + e^{x}\left(\frac{1}{6}x^2 - \frac{1}{9}x\right) $$ حيث $$ C_1 $$ و $$ C_2 $$ ثوابت تعيينها بناءً على الشروط الابتدائية.

Example2:

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Extra Insights

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions