Pregunta
upstudy study bank question image url

Use implicit differentiation to determine \( \frac{d y}{d x} \) for the equation \( x^{2} \sqrt{y}-3 x^{5}-6=e^{2} \)

Ask by Hanson Simmons. in the United States
Mar 18,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

Responder

\[ \frac{dy}{dx} = 30x^2\sqrt{y} - \frac{4y}{x} \]

Solución

¡Inicia sesión para desbloquear respuestas gratis!

Una plataforma de aprendizaje en la que confían millones de estudiantes y profesores reales.

star-icon Descubrir

Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional

Extra Insights

To use implicit differentiation on the equation \( x^{2} \sqrt{y} - 3 x^{5} - 6 = e^{2} \), we can start by differentiating both sides with respect to \( x \). 1. Calculate the derivative of the left side: \[ \frac{d}{dx}(x^{2} \sqrt{y}) = x^{2} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{y}) + \sqrt{y} \cdot \frac{d}{dx}(x^{2}) = x^{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot \frac{dy}{dx} + \sqrt{y} \cdot 2x \] 2. Now derive \( -3x^5 \) and \( -6 \): \[ \frac{d}{dx}(-3x^{5}) = -15x^{4} \] \[ \frac{d}{dx}(-6) = 0 \] 3. The right side, \( e^{2} \), is a constant, so its derivative is: \[ \frac{d}{dx}(e^{2}) = 0 \] Now, putting everything together, we differentiate the whole equation: \[ x^{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot \frac{dy}{dx} + 2x\sqrt{y} - 15x^{4} = 0 \] 4. Rearranging gives: \[ x^{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot \frac{dy}{dx} = 15x^{4} - 2x\sqrt{y} \] 5. To isolate \( \frac{dy}{dx} \), multiply both sides by \( \frac{2\sqrt{y}}{x^{2}} \): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{2\sqrt{y}(15x^{4} - 2x\sqrt{y})}{x^{2}} \] 6. Thus, we simplify further: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{2\sqrt{y}(15x^{4} - 2x\sqrt{y})}{x^{2}} \] This gives the final result for \( \frac{dy}{dx} \).

¡Prueba Premium ahora!
¡Prueba Premium y hazle a Thoth AI preguntas de matemáticas ilimitadas ahora!
Quizas mas tarde Hazte Premium
Estudiar puede ser una verdadera lucha
¿Por qué no estudiarlo en UpStudy?
Seleccione su plan a continuación
Prima

Puedes disfrutar

Empieza ahora
  • Explicaciones paso a paso
  • Tutores expertos en vivo 24/7
  • Número ilimitado de preguntas
  • Sin interrupciones
  • Acceso completo a Respuesta y Solución
  • Acceso completo al chat de PDF, al chat de UpStudy y al chat de navegación
Básico

Totalmente gratis pero limitado

  • Solución limitada
Bienvenido a ¡Estudia ahora!
Inicie sesión para continuar con el recorrido de Thoth AI Chat
Continuar con correo electrónico
O continuar con
Al hacer clic en "Iniciar sesión", acepta nuestros términos y condiciones. Términos de Uso & Política de privacidad