$$ \sin ^ { 2 } x + \cos ^ { 2 } x ( 1 - \operatorname { tag } ^ { 2 } x ) = \cos ^ { 2 } x $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Sea la ecuación

$$
\sin^2x + \cos^2x \Bigl( 1 - \tan^2x \Bigr) = \cos^2x.
$$

1. Expandimos el término multiplicado por $$\cos^2x$$:

$$
\sin^2x + \cos^2x - \cos^2x \tan^2x = \cos^2x.
$$

2. Restamos $$\cos^2x$$ de ambos lados:

$$
\sin^2x - \cos^2x \tan^2x = 0.
$$

3. Recordamos que la definición de la tangente es

$$
\tan^2x = \frac{\sin^2x}{\cos^2x},
$$

siempre cuando $$\cos x \neq 0$$. Entonces, sustituyendo:

$$
\cos^2x \tan^2x = \cos^2x \cdot \frac{\sin^2x}{\cos^2x} = \sin^2x.
$$

4. Sustituimos en la ecuación:

$$
\sin^2x - \sin^2x = 0,
$$

lo cual es una igualdad verdadera (identidad).

5. Por lo tanto, la ecuación se reduce a una identidad para todo $$x$$ en que la función $$\tan x$$ esté definida, es decir, para todo $$x$$ tal que $$\cos x \neq 0$$.

La solución es:

$$
\{x\in \mathbb{R} \mid \cos x \neq 0\},
$$

o equivalentemente,

$$
x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}.
$$

En estos puntos la función $$\tan x$$ no está definida.
La ecuación se reduce a una identidad para todos los valores de $$ x $$ donde $$\cos x \neq 0$$, es decir, $$ x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi $$ para cualquier entero $$ k $$.

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