(a) Se te da el punto $$ (1, \pi / 2) $$ en coordenadas polares. (i) Encuentre otro par de coordenadas polares para este punto tal quer $$ 0 \mathrm{y} 2 \pi \leq heta

Question

(a) Se te da el punto $$ (1, \pi / 2) $$ en coordenadas polares. (i) Encuentre otro par de coordenadas polares para este punto tal quer $$ >0 \mathrm{y} 2 \pi \leq heta<4 \pi $$. $$ r=\square $$ $$ heta=\square $$ (ii) Encuentre otro par de coordenadas polares para este punto tal quer $$ <0 \mathrm{y} 0 \leq heta<2 \pi $$. $$ r=\square $$ $$ heta=\square $$ (b) Se te da el punto $$ (-2, \pi / 4) $$ en coordenadas polares. (i) Encuentre otro par de coordenadas polares para este punto tal quer $$ >0 \mathrm{y} 2 \pi \leq heta<4 \pi $$. $$ r=\square $$ $$ heta=\square $$ (ii) Encuentre otro par de coordenadas polares para este punto tal quer $$ <0 \mathrm{y}-2 \pi \leq heta<0 $$. $$ r=\square $$ $$ heta=\square $$

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**(a) Punto $$ (1,\,\pi/2) $$** **(i) Con $$ r>0 $$ y $$ 2\pi\le\theta<4\pi $$:** Para obtener otra representación, se suma $$ 2\pi $$ al ángulo original: $$ \theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{\pi}{2} + \frac{4\pi}{2} = \frac{5\pi}{2} $$ Por lo tanto: $$ r=1,\quad \theta=\frac{5\pi}{2} $$ **(ii) Con $$ r<0 $$ y $$ 0\le\theta<2\pi $$:** Utilizamos la equivalencia: $$ (r,\theta) = (-r,\,\theta+\pi) $$ Aplicando a $$ (1,\,\pi/2) $$: $$ (1,\,\pi/2) = (-1,\,\pi/2+\pi) = (-1,\,\frac{3\pi}{2}) $$ Así que: $$ r=-1,\quad \theta=\frac{3\pi}{2} $$ --- **(b) Punto $$ (-2,\,\pi/4) $$** Recordemos que $$ (-2,\,\pi/4) $$ es una representación válida; sin embargo, podemos expresarlo en forma equivalente con $$ r>0 $$ añadiendo $$ \pi $$ al ángulo: $$ (-2,\,\pi/4) = \left(2,\,\pi/4+\pi\right) = \left(2,\,\frac{5\pi}{4}\right) $$ **(i) Con $$ r>0 $$ y $$ 2\pi\le\theta<4\pi $$:** El ángulo $$ \frac{5\pi}{4} $$ no está en el intervalo requerido, así que le sumamos $$ 2\pi $$: $$ \theta = \frac{5\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{13\pi}{4} $$ Por lo tanto: $$ r=2,\quad \theta=\frac{13\pi}{4} $$ **(ii) Con $$ r<0 $$ y $$ -2\pi\le\theta<0 $$:** Partimos de la representación dada $$ (-2,\,\pi/4) $$. Para ajustar el ángulo al intervalo $$ [-2\pi,\,0) $$, restamos $$ 2\pi $$: $$ \theta = \frac{\pi}{4} - 2\pi = \frac{\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = -\frac{7\pi}{4} $$ De modo que: $$ r=-2,\quad \theta=-\frac{7\pi}{4} $$ **(a) Punto $$ (1,\,\pi/2) $$** **(i) Con $$ r>0 $$ y $$ 2\pi\le\theta<4\pi $$:** $$ r=1,\quad \theta=\frac{5\pi}{2} $$ **(ii) Con $$ r<0 $$ y $$ 0\le\theta<2\pi $$:** $$ r=-1,\quad \theta=\frac{3\pi}{2} $$ **(b) Punto $$ (-2,\,\pi/4) $$** **(i) Con $$ r>0 $$ y $$ 2\pi\le\theta<4\pi $$:** $$ r=2,\quad \theta=\frac{13\pi}{4} $$ **(ii) Con $$ r<0 $$ y $$ -2\pi\le\theta<0 $$:** $$ r=-2,\quad \theta=-\frac{7\pi}{4} $$

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