(d) Traza el triangulo PBC; con vértice en el origen \( (P) \) y los puntos (e) ¿Qué tipo de triángulo es? (f) Calcula los ángulos del triángulo \( (\alpha, \beta, \gamma) \) (g) Calcula \( H, O \) y \( G \); del triángulo PBC (h) Expresa la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo PBC. (i) ¿Qué representa el segmento de recta entre el punto medio de \( \overline{B C} \) y \( P \) ? (j) Expresa la ecuación del segmento de recta anterior en la forma general.

(d) Sean los vértices \[ P=(0,0),\quad B=(6,0),\quad C=(0,8). \] El triángulo \(PBC\) se traza uniendo los puntos \(P\) a \(B\), \(B\) a \(C\) y \(C\) a \(P\). (e) Calculamos las longitudes de sus lados: - \( PB=\sqrt{(6-0)^2+(0-0)^2}=\sqrt{36}=6 \). - \( PC=\sqrt{(0-0)^2+(8-0)^2}=\sqrt{64}=8 \). - \( BC=\sqrt{(6-0)^2+(0-8)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10 \). Observamos que se cumple el teorema de Pitágoras: \[ 6^2+8^2=36+64=100=10^2, \] por lo que el triángulo es rectángulo en \(P\). (f) Sea - \(\gamma\) el ángulo en \(P\), - \(\alpha\) el ángulo en \(B\), - \(\beta\) el ángulo en \(C\). Dado que el triángulo es rectángulo en \(P\), tenemos: \[ \gamma=90^\circ. \] Para calcular \(\alpha\) en \(B\), usamos la tangente: \[ \tan \alpha=\frac{PC}{PB}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\quad\Longrightarrow\quad \alpha\approx \arctan\frac{4}{3}\approx53.13^\circ. \] Luego, el ángulo en \(C\) es: \[ \beta=180^\circ-\gamma-\alpha=180^\circ-90^\circ-53.13^\circ\approx36.87^\circ. \] (g) Se determinan los siguientes centros del triángulo: - **Centroide \(G\):** Las coordenadas del centroide se obtienen promediando las coordenadas de los vértices: \[ G=\left(\frac{0+6+0}{3},\frac{0+0+8}{3}\right)=\left(2,\frac{8}{3}\right). \] - **Circuncentro \(O\):** En un triángulo rectángulo, el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa. Dado que la hipotenusa es \(\overline{BC}\): \[ O=\left(\frac{6+0}{2},\frac{0+8}{2}\right)=\left(3,4\right). \] - **Ortocentro \(H\):** En un triángulo rectángulo, el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto. Así, \[ H=P=(0,0). \] (h) La circunferencia circunscrita al triángulo tiene centro \(O=(3,4)\). El radio \(R\) es la distancia de \(O\) a \(B\) (o a \(C\)): \[ R=\sqrt{(6-3)^2+(0-4)^2}=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5. \] Por ello, su ecuación es: \[ (x-3)^2+(y-4)^2=25. \] (i) El segmento de recta que une el punto \(P\) con el punto medio de \(\overline{BC}\) (que coincide con el circuncentro \(O\)) es la mediana relativa al lado \(BC\). En un triángulo rectángulo, esta mediana es igual a la mitad de la hipotenusa, es decir, es \(5\) unidades, y además coincide con el radio de la circunferencia circunscrita. (j) Para obtener la ecuación de la recta que pasa por \(P=(0,0)\) y \(O=(3,4)\), se calcula la pendiente: \[ m=\frac{4-0}{3-0}=\frac{4}{3}. \] La ecuación en forma pendiente-intersección es: \[ y=\frac{4}{3}x. \] Para expresarla en forma general, multiplicamos por \(3\) y llevamos todos los términos a un lado: \[ 3y=4x\quad\Longrightarrow\quad 4x-3y=0. \]