10. Yon tomoni 10 , asoslari 2 ya 14 bo'lgan teng yonli trapetsiyaga tashqi chizilgan aylananing radiusini toping.

1. Обозначим стороны вписанного четырехугольника. Пусть основания трапеции равны \(a = 14\) и \(c = 2\), а боковые стороны равны \(b = d = 10\). 2. Для любого вписанного в окружность четырехугольника площадь \(K\) может быть найдена по формуле Брахмагупты: \[ K = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}, \] где \( s = \frac{a+b+c+d}{2} \) — полупериметр. 3. Вычислим полупериметр: \[ s = \frac{14+10+2+10}{2} = \frac{36}{2} = 18. \] 4. Найдём площадь \(K\): \[ K = \sqrt{(18-14)(18-10)(18-2)(18-10)} = \sqrt{4 \cdot 8 \cdot 16 \cdot 8}. \] Заметим, что: \[ 4 \cdot 8 = 32,\quad 16 \cdot 8 = 128,\quad 32 \cdot 128 = 4096. \] Таким образом: \[ K = \sqrt{4096} = 64. \] 5. Для вычисления радиуса описанной окружности \(R\) вписанного четырехугольника можно использовать формулу: \[ R = \frac{\sqrt{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}{4K}. \] Подставим наши стороны: - \(ab+cd = 14\cdot10 + 2\cdot10 = 140+20 = 160,\) - \(ac+bd = 14\cdot2 + 10\cdot10 = 28+100 = 128,\) - \(ad+bc = 14\cdot10 + 10\cdot2 = 140+20 = 160.\) 6. Найдём произведение: \[ (ab+cd)(ac+bd)(ad+bc) = 160 \cdot 128 \cdot 160 = 160^2 \cdot 128. \] Заметим, что: \[ 160^2 = 25600,\quad 25600 \cdot 128 = 3276800. \] Тогда: \[ \sqrt{3276800} = \sqrt{32768 \cdot 100} = 10\sqrt{32768}. \] Поскольку \(32768 = 2^{15}\), получаем: \[ \sqrt{32768} = 2^{\frac{15}{2}} = 2^7\sqrt{2} = 128\sqrt{2}, \] и далее: \[ \sqrt{3276800} = 10 \cdot 128\sqrt{2} = 1280\sqrt{2}. \] 7. Подставим найденное значение в формулу для \(R\): \[ R = \frac{1280\sqrt{2}}{4\cdot64} = \frac{1280\sqrt{2}}{256} = 5\sqrt{2}. \] Ответ: \(\boxed{5\sqrt{2}}\).