9) \( \sqrt[3]{\frac{1}{5}}: \sqrt[4]{\frac{2}{5}} \) (3 punti)

Per risolvere l'espressione \( \sqrt[3]{\frac{1}{5}} : \sqrt[4]{\frac{2}{5}} \), seguiamo i passaggi seguenti: 1. **Riformulazione in potenze:** \[ \sqrt[3]{\frac{1}{5}} = \left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{1}{3}} \] \[ \sqrt[4]{\frac{2}{5}} = \left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{1}{4}} \] 2. **Divisione delle potenze:** \[ \frac{\left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{1}{3}}}{\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{1}{4}}} = \left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{1}{3}} \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{1}{4}} \] 3. **Semplificazione degli esponenti:** \[ = 5^{-\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{-\frac{1}{4}} \] \[ = 5^{-\frac{1}{3} + \frac{1}{4}} \cdot 2^{-\frac{1}{4}} \] Calcoliamo gli esponenti: \[ -\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = -\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = -\frac{1}{12} \] Quindi: \[ = 5^{-\frac{1}{12}} \cdot 2^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{5^{\frac{1}{12}} \cdot 2^{\frac{1}{4}}} \] 4. **Espressione finale:** \[ \frac{1}{5^{\frac{1}{12}} \cdot 2^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[12]{5} \cdot \sqrt[4]{2}} = \frac{1}{\sqrt[12]{40}} \] **Risultato Finale:** \[ \sqrt[3]{\frac{1}{5}} : \sqrt[4]{\frac{2}{5}} = \frac{1}{\sqrt[12]{40}} \approx 0{,}735 \] Dove l'approssimazione decimale è stata calcolata come segue: \[ \sqrt[12]{40} \approx 1{,}359 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{1{,}359} \approx 0{,}735 \]