d) \( x^{3}+2 x^{2}-9 x-18 \)

Para factorizar el polinomio \( x^{3} + 2x^{2} - 9x - 18 \), seguiremos los siguientes pasos: ### 1. Encontrar las raíces racionales posibles Según el **Teorema de las raíces racionales**, las posibles raíces de la ecuación \( x^{3} + 2x^{2} - 9x - 18 = 0 \) son los factores del término independiente (-18) divididos por los factores del coeficiente principal (1). Por lo tanto, las posibles raíces son: \[ \pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm9, \pm18 \] ### 2. Probar las posibles raíces Probemos \( x = 3 \): \[ 3^{3} + 2 \cdot 3^{2} - 9 \cdot 3 - 18 = 27 + 18 - 27 - 18 = 0 \] Como al sustituir \( x = 3 \) obtenemos 0, \( x = 3 \) es una raíz del polinomio, lo que implica que \( (x - 3) \) es un factor. ### 3. Realizar la división polinómica Dividimos el polinomio original entre \( (x - 3) \) usando la **división sintética**: \[ \begin{array}{c|cccc} 3 & 1 & 2 & -9 & -18 \\ \hline & 1 & 5 & 6 & 0 \\ \end{array} \] Esto nos deja con el polinomio cuadrático \( x^{2} + 5x + 6 \). ### 4. Factorizar el polinomio cuadrático Factorizamos \( x^{2} + 5x + 6 \): \[ x^{2} + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \] ### 5. Expresar la factorización completa Finalmente, el polinomio original se factoriza completamente de la siguiente manera: \[ x^{3} + 2x^{2} - 9x - 18 = (x - 3)(x + 2)(x + 3) \] ### 6. Raíces del polinomio Las soluciones de la ecuación \( x^{3} + 2x^{2} - 9x - 18 = 0 \) son: \[ x = 3, \quad x = -2, \quad x = -3 \]