58 Construcción de una caja rectangular Consulte el ejempl 12. Una caja sin tapa ha de construirse al cortar cuadrado de 3 pulgadas de las esquinas de una lámina rectangular d hojalata cuya longitud es el doble de su ancho. ¿Una lámin de qué medidas producirá una caja que tenga un volumen d 60 pulg \( ^{3} \) ?

Para resolver este problema, primero definamos las dimensiones de la caja. Sea \( x \) el ancho de la lámina rectangular. Entonces, la longitud de la lámina será \( 2x \). Al cortar cuadrados de 3 pulgadas de cada esquina, las dimensiones de la base de la caja serán \( (x - 6) \) pulgadas de ancho y \( (2x - 6) \) pulgadas de largo. La altura de la caja es de 3 pulgadas. Así, el volumen de la caja se puede representar como: \[ V = \text{largo} \times \text{ancho} \times \text{altura} = (x - 6)(2x - 6)(3) \] Queremos que ese volumen sea igual a 60 pulgadas cúbicas, así que planteamos la ecuación: \[ (x - 6)(2x - 6)(3) = 60 \] Resolviendo la ecuación nos dará el valor de \( x \), y de esta manera podremos determinar las dimensiones originales de la lámina rectangular. ¡Manos a la obra! Recuerda que, al resolver ecuaciones, es fácil cometer errores al multiplicar o al despejar. Asegúrate de recalcular y verificar tus pasos. Una buena práctica es comprobar que el volumen realmente suma 60 pulgadas cúbicas con los valores que obtengas al final. ¡Diviértete construyendo tu caja!