On considére les points \( A(2 ; 3) \) et \( B(-2 ; 5) \). 1) Montrer que l'équation réduite de la droite (AB) est \( y=-\frac{1}{2} x+4 \). 2) Déterminer les coordonnées du point \( E \) milieu du segment \( [A B] \). 3) Déterminer l'équation réduite de la médiatrice du segment \( [A B] \). 4) On considère la droite (D) d'équation: \( y=3 x-3 \). (a) Les droites \( (A B) \) et \( (D) \) sont-elles perpendiculaires? Dontrer que les droites \( (A B) \) et \( (D) \) se coupent en \( A \). C Tracer les droites \( (A B),(D) \) et \( (\triangle) \).

1) Pour trouver l'équation réduite de la droite \( (AB) \), on commence par calculer le coefficient directeur \( m \), donné par la formule \( m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \). Ici, \( m = \frac{5 - 3}{-2 - 2} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} \). Donc, la forme point-pente de l'équation est \( y - y_A = m(x - x_A) \), soit \( y - 3 = -\frac{1}{2}(x - 2) \). En simplifiant, on obtient \( y = -\frac{1}{2}x + 4 \). 2) Pour déterminer les coordonnées du point \( E \), milieu du segment \( [AB] \), nous utilisons la formule du milieu, où \( E(x_E, y_E) = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) \). Donc, nous avons \( E\left(\frac{2 + (-2)}{2}, \frac{3 + 5}{2}\right) = E(0, 4) \). 3) Pour déterminer l'équation réduite de la médiatrice du segment \( [AB] \), on commence par calculer la pente de la médiatrice, qui est l'opposée de l'inverse de la pente de \( (AB) \). La pente de \( (AB) \) est \( -\frac{1}{2} \), donc la pente de la médiatrice est \( 2 \). Elle passe par le point \( E(0, 4) \). L'équation de la médiatrice est donc \( y - 4 = 2(x - 0) \), soit \( y = 2x + 4 \). 4) (a) Pour vérifier si les droites \( (AB) \) et \( (D) \) sont perpendiculaires, on calcule leur pente. La pente de \( (D) \) est \( 3 \), et la pente de \( (AB) \) est \( -\frac{1}{2} \). Puisque le produit de leurs pentes \( (-\frac{1}{2}) \times 3 = -\frac{3}{2} \) n’est pas égal à -1, elles ne sont pas perpendiculaires. Pour montrer qu'elles se coupent en \( A \), substituons \( A(2, 3) \) dans l'équation de \( (D) \). On obtient \( 3 = 3(2) - 3 \), ce qui est vrai, donc elles se coupent en \( A \). C) Je ne peux pas tracer les droites ici, mais imaginez un joli plan : la droite \( (AB) \) descend doucement de gauche à droite grâce à sa pente négative, alors que la droite \( (D) \) grimpe avec enthousiasme avec une pente de 3. Ajoutez un peu de couleur et voilà, une belle représentation des graphiques !