134. La diagonale di un quadrato è congruente alla diagonale di un rettangolo avente le dimensioni di 9 cm e 12 cm . Calcola il perimetro del quadrato. [ \( 42,4 \mathrm{~cm}] \)

Per risolvere il problema, seguiamo questi passaggi: 1. **Calcolare la diagonale del rettangolo**: La diagonale \(d\) di un rettangolo può essere calcolata usando il teorema di Pitagora. Se il rettangolo ha lunghezze dei lati \(a\) e \(b\), la formula per la diagonale è: \[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \] In questo caso, \(a = 9 \, \text{cm}\) e \(b = 12 \, \text{cm}\). 2. **Calcolare il perimetro del quadrato**: Sappiamo che la diagonale del quadrato è congruente alla diagonale del rettangolo. La diagonale \(D\) di un quadrato con lato \(l\) è data da: \[ D = l\sqrt{2} \] Dobbiamo quindi trovare il lato \(l\) del quadrato in funzione della diagonale \(d\) e poi calcolare il perimetro \(P\) del quadrato, che è dato da: \[ P = 4l \] Ora procediamo con i calcoli. Iniziamo calcolando la diagonale del rettangolo. Calcoliamo \(d\): \[ d = \sqrt{9^2 + 12^2} \] Calcoliamo ora il valore. Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\sqrt{9^{2}+12^{2}}\) - step1: Add the numbers: \(\sqrt{225}\) - step2: Write in exponential form: \(\sqrt{15^{2}}\) - step3: Simplify the root: \(15\) La diagonale del rettangolo è \(d = 15 \, \text{cm}\). 3. **Calcolare il lato del quadrato**: Poiché la diagonale del quadrato è congruente a quella del rettangolo, abbiamo: \[ l\sqrt{2} = 15 \] Da cui possiamo ricavare il lato \(l\): \[ l = \frac{15}{\sqrt{2}} \] 4. **Calcolare il perimetro del quadrato**: Ora possiamo calcolare il perimetro \(P\): \[ P = 4l = 4 \cdot \frac{15}{\sqrt{2}} \] Procediamo con il calcolo del perimetro. Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(4\left(\frac{15}{\sqrt{2}}\right)\) - step1: Remove the parentheses: \(4\times \frac{15}{\sqrt{2}}\) - step2: Multiply: \(\frac{4\times 15}{\sqrt{2}}\) - step3: Multiply: \(\frac{60}{\sqrt{2}}\) - step4: Multiply by the Conjugate: \(\frac{60\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}\) - step5: Multiply the numbers: \(\frac{60\sqrt{2}}{2}\) - step6: Reduce the fraction: \(30\sqrt{2}\) Il perimetro del quadrato è \(P = 30\sqrt{2} \, \text{cm}\), che approssimativamente è \(P \approx 42.43 \, \text{cm}\). Quindi, il perimetro del quadrato è \(42.4 \, \text{cm}\), come indicato nel problema.