¿Cuál es el rango de \( y=x^{2}+4 x+12 \) ? \( \{y \in R \mid \square\} \)

Para encontrar el rango de la función \(y = x^2 + 4x + 12\), primero la reescribimos en forma de vértice completando el cuadrado. Esto nos dará una idea clara sobre sus valores de \(y\). Al completar el cuadrado, obtenemos \(y = (x+2)^2 + 8\). Esta forma nos indica que el valor mínimo de \(y\) ocurre cuando \((x+2)^2 = 0\), es decir, cuando \(x = -2\). Entonces, el valor mínimo de \(y\) es 8. Debido a que la parábola se abre hacia arriba (su coeficiente principal es positivo), el rango de la función es \(y \geq 8\). Por lo tanto, el rango es \( \{y \in \mathbb{R} \mid y \geq 8\} \). Si deseas visualizarlo, imagina una hermosa parábola con su vértice risueño en el punto \((-2,8)\) en el plano cartesiano, ¡desde ahí solo puede subir y alejarse hacia el infinito! Es como si la función estuviera dando un salto alegre, imperando en valores mayores o iguales a 8.