Soit \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) la suite de fonctions définies par : \[ \forall x \in\left[0,+\infty\left[, \quad f_{n}(x)=\frac{x^{3}}{\left(1+x^{2}\right)^{n} \nless 2}\right.\right. \] 1. Montrer que la suite de fonction \( f_{n} \) convergence simplement sur \( [0,+\infty[ \). 2. Montrer que la suite de fonction \( f_{n} \) convergence uniformément sur \( [0,+\infty[ \). 3. Montrer que \( f_{n}(x) \leq 1 \) sur \( [0,1] \) et \( f_{n}(x) \leq \frac{1}{x^{2 n-3}} \) sur \( [1,+\infty[ \). 4. On pose : \( F_{n}(x)=\int_{0}^{x} f_{n}(t) d t \) pour tout \( x>0 \). Etudier la convergence simple de la suite \( \left(F_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) sur \( [0,+\infty[ \). Montrer que \( x \mapsto \bar{F}_{n}(x) \) est croissante. (C) En déduirc que \( \sup _{x \in[0,+\infty[ }\left|F_{n}(x)\right|=\lim _{x \rightarrow+\infty} F_{n}(x) \)

Pour résoudre ce problème, nous allons aborder chaque question étape par étape. ### 1. Convergence simple de la suite de fonctions \( f_n \) Nous devons montrer que la suite de fonctions \( f_n(x) \) converge simplement sur \( [0, +\infty[ \). **Étape 1 : Analyser la limite de \( f_n(x) \)** Pour \( x \in [0, +\infty[ \), nous avons : \[ f_n(x) = \frac{x^3}{(1+x^2)^n} \] **Étape 2 : Étudier le comportement de \( f_n(x) \) selon la valeur de \( x \)** - Si \( x = 0 \) : \[ f_n(0) = \frac{0^3}{(1+0^2)^n} = 0 \] - Si \( 0 < x < 1 \) : \[ f_n(x) = \frac{x^3}{(1+x^2)^n} \to 0 \quad \text{quand } n \to +\infty \] - Si \( x = 1 \) : \[ f_n(1) = \frac{1^3}{(1+1^2)^n} = \frac{1}{2^n} \to 0 \quad \text{quand } n \to +\infty \] - Si \( x > 1 \) : \[ f_n(x) = \frac{x^3}{(1+x^2)^n} \to 0 \quad \text{quand } n \to +\infty \] **Conclusion :** Pour tout \( x \in [0, +\infty[ \), \( f_n(x) \to 0 \) quand \( n \to +\infty \). Donc, la suite \( f_n \) converge simplement vers la fonction nulle \( f(x) = 0 \). ### 2. Convergence uniforme de la suite de fonctions \( f_n \) Pour montrer la convergence uniforme, nous devons prouver que : \[ \lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in [0, +\infty[} |f_n(x) - 0| = 0 \] **Étape 1 : Calculer \( \sup_{x \in [0, +\infty[} f_n(x) \)** Nous avons : \[ f_n(x) = \frac{x^3}{(1+x^2)^n} \] **Étape 2 : Trouver le maximum de \( f_n(x) \)** Pour \( x \in [0, +\infty[ \), nous devons étudier le comportement de \( f_n(x) \) : - Pour \( x \in [0, 1] \), \( f_n(x) \) est majoré par \( f_n(1) = \frac{1}{2^n} \). - Pour \( x \geq 1 \), on peut montrer que \( f_n(x) \) décroît car \( (1+x^2)^n \) croît plus vite que \( x^3 \). **Conclusion :** Ainsi, pour tout \( x \geq 0 \), nous avons : \[ \sup_{x \in [0, +\infty[} f_n(x) \leq \frac{1}{2^n} \] et donc : \[ \lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in [0, +\infty[} f_n(x) = 0 \] Cela prouve que \( f_n \) converge uniformément vers 0 sur \( [0, +\infty[ \). ### 3. Inégalités sur \( f_n(x) \) **Pour \( x \in [0, 1] \)** : \[ f_n(x) = \frac{x^3}{(1+x^2)^n} \leq \frac{1^3}{(1+0^2)^n} = 1 \] **Pour \( x \in [1, +\infty[ \)** : \[ f_n(x) = \frac{x^3}{(1+x^2)^n} \leq \frac{x^3}{(x^2)^n} = \frac{x^3}{x^{2n}} = \frac{1}{x^{2n-3}} \] ### 4. Étude de la convergence simple de \( F_n(x) \) Nous avons : \[ F_n(x) = \int_0^x f_n(t) dt \] **Étape 1 : Convergence simple de \( F_n(x) \)** Puisque \( f_n(t) \to 0 \) pour tout \( t \), par le théorème de convergence dominée, nous avons : \[ F_n(x) \to 0 \quad \text{quand } n \to +\infty \] ### 5. Montrer que \( x \mapsto F_n(x) \) est croissante Pour montrer que \( F_n(x) \) est croissante, nous calculons la dérivée : \[ F_n'(x) = f_n(x) \geq 0 \quad \text{pour tout } x \in [0, +\infty[ \] Donc, \( F_n(x) \) est croissante. ### 6. Conclusion sur \( \sup_{x \in [0, +\infty[} |F_n(x)| \) Puisque \( F_n(x) \) est croissante et converge vers 0, nous avons : \[ \sup_{x \in [0, +\infty[} |F_n(x)| = \lim_{x \to +\infty} F_n(x) = 0 \] Ainsi, nous avons montré toutes les propriétés demandées.