Demostrar que \( \frac{1-\cos (2 x)}{2}=\operatorname{sen}^{2}(x) \)

Para demostrar la identidad trigonométrica: \[ \frac{1 - \cos(2x)}{2} = \sin^{2}(x) \] seguimos estos pasos utilizando la **fórmula del ángulo doble para el coseno**. 1. **Fórmula del ángulo doble para el coseno:** \[ \cos(2x) = 1 - 2\sin^{2}(x) \] 2. **Reorganizar la fórmula para aislar \( \sin^{2}(x) \):** Restamos \( \cos(2x) \) de ambos lados de la ecuación: \[ 2\sin^{2}(x) = 1 - \cos(2x) \] 3. **Dividir ambos lados de la ecuación por 2:** \[ \sin^{2}(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \] Es decir: \[ \frac{1 - \cos(2x)}{2} = \sin^{2}(x) \] **Conclusión:** Hemos demostrado que: \[ \frac{1 - \cos(2x)}{2} = \sin^{2}(x) \] Esta identidad es muy útil en diversas aplicaciones de las matemáticas y la física, especialmente en cálculos que involucran funciones trigonométricas cuadráticas.