36. (ITA 1992) Num triângulo $$ A B C $$, retângulo em $$ \hat{A} $$, temos $$ \hat{B}=60^{\circ} $$. As bissetrizes destes ângulos se encontram num ponto $$ D $$. Se o segmento de reta $$ B D $$ mede 1 cm , então a hipotenusa mede a) $$ \frac{1+\sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm} $$. b) $$ 1+\sqrt{3} \mathrm{~cm} $$. c) $$ 2+\sqrt{3} \mathrm{~cm} $$. d) $$ 1+2 \sqrt{2} \mathrm{~cm} $$. e) nenhuma das alternativas.

Question

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Considere o triângulo $$ABC$$ com ângulos dados por  
$$
\angle A = 90^\circ,\quad \angle B = 60^\circ,\quad \angle C = 30^\circ.
$$
Assim, o triângulo é retângulo-30-60-90. Sabendo que nos triângulos 30-60-90 os lados são proporcionais a  
$$
1 : \sqrt{3} : 2,
$$
podemos definir:
- $$AB = x$$ (lado oposto a $$30^\circ$$);
- $$AC = x\sqrt{3}$$ (lado oposto a $$60^\circ$$);
- $$BC = 2x$$ (hipotenusa, oposta a $$90^\circ$$).

O ponto $$D$$ é a interseção das bissetrizes dos ângulos $$A$$ e $$B$$, ou seja, é o incentro do triângulo.

Utilizaremos um sistema de coordenadas conveniente:
- Coloque $$A$$ na origem, $$A=(0,0)$$;
- Posicione $$B$$ no eixo $$x$$: $$B=(x,0)$$;
- Posicione $$C$$ no eixo $$y$$: $$C=(0,x\sqrt{3})$$.

Os comprimentos dos lados são então:
$$
AB = x,\quad AC = x\sqrt{3},\quad BC = \sqrt{(x-0)^2+(0-x\sqrt{3})^2} = \sqrt{x^2+3x^2} = 2x.
$$

A fórmula do incentro $$D$$ em termos das coordenadas dos vértices e dos comprimentos dos lados (tomando como “pesos” os lados opostos aos vértices) é:
$$
D=\left(\frac{aA_x+bB_x+cC_x}{a+b+c},\,\frac{aA_y+bB_y+cC_y}{a+b+c}\right),
$$
sendo:
- $$a = BC = 2x$$ (lado oposto a $$A$$);
- $$b = AC = x\sqrt{3}$$ (lado oposto a $$B$$);
- $$c = AB = x$$ (lado oposto a $$C$$).

Como $$A=(0,0),\, B=(x,0),\, C=(0,x\sqrt{3})$$, temos:
$$
D_x = \frac{2x\cdot 0 + x\sqrt{3}\cdot x + x\cdot 0}{2x + x\sqrt{3}+x} = \frac{x^2\sqrt{3}}{x(2+\sqrt{3}+1)} = \frac{x\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}},
$$
$$
D_y = \frac{2x\cdot 0 + x\sqrt{3}\cdot 0 + x\cdot x\sqrt{3}}{2x+x\sqrt{3}+x} = \frac{x^2\sqrt{3}}{x(3+\sqrt{3})} = \frac{x\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}.
$$
Portanto, as coordenadas do incentro são
$$
D=\left(\frac{x\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}},\,\frac{x\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\right).
$$

Agora, vamos calcular o comprimento do segmento $$BD$$. Sabendo que $$B=(x,0)$$ e $$D=\left(\frac{x\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}},\,\frac{x\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\right)$$:
$$
BD = \sqrt{\left(x-\frac{x\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\right)^2+\left(0-\frac{x\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\right)^2}.
$$
Primeiro, observe que
$$
x - \frac{x\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} = x\left(1-\frac{\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\right)= x\frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} = \frac{3x}{3+\sqrt{3}}.
$$
Assim, temos:
$$
(x-k)^2 = \left(\frac{3x}{3+\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{9x^2}{(3+\sqrt{3})^2},
$$
onde $$k=\frac{x\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$$, e
$$
k^2 = \frac{3x^2}{(3+\sqrt{3})^2}.
$$
Portanto,
$$
BD^2 = \frac{9x^2}{(3+\sqrt{3})^2} + \frac{3x^2}{(3+\sqrt{3})^2} = \frac{12x^2}{(3+\sqrt{3})^2}.
$$
Como o enunciado informa que $$BD = 1$$ cm, obtemos:
$$
\frac{12x^2}{(3+\sqrt{3})^2}=1 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = \frac{(3+\sqrt{3})^2}{12}.
$$

A hipotenusa do triângulo é
$$
BC = 2x.
$$
Extraindo $$x$$:
$$
x = \frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{12}} = \frac{3+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}.
$$
Portanto,
$$
BC = 2x = 2\cdot\frac{3+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}.
$$
Racionalizando o denominador:
$$
\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} + 1.
$$

Logo, a hipotenusa mede $$1+\sqrt{3}$$ cm, o que corresponde à alternativa (b).
A hipotenusa mede $$1 + \sqrt{3}$$ cm.

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