Pregunta
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\( 1 \leftarrow \) Find \( z^{\prime}(t) \), where \( z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}, x=t^{2}+2 t \), and \( y=t^{3}-3 \), in the following ways. a. Replace \( x \) and \( y \) to write \( z \) as a function of \( t \) and differentiate. b. Use the Chain Rule. a. Write \( z \) as a function of \( t \). \( z(t)=\frac{1}{t^{2}+2 t}+\frac{1}{t^{3}-3} \) b. To find the derivative using the Chain Rule, begin by finding the intermediate derivatives. \( \frac{\partial z}{\partial x}=\square \) (Type an expression using \( x \) and \( y \) as the variables.)

Ask by Sullivan Williams. in the United States
Mar 17,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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To find \( z^{\prime}(t) \), where \( z = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \), \( x = t^2 + 2t \), and \( y = t^3 - 3 \), we can differentiate \( z \) with respect to \( t \) using two methods: **a. Direct Differentiation:** \[ z(t) = \frac{1}{t^2 + 2t} + \frac{1}{t^3 - 3} \] \[ z'(t) = -\frac{2t + 2}{(t^2 + 2t)^2} - \frac{3t^2}{(t^3 - 3)^2} \] **b. Using the Chain Rule:** \[ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{1}{x^2} \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{1}{y^2} \] \[ \frac{dx}{dt} = 2t + 2, \quad \frac{dy}{dt} = 3t^2 \] \[ z'(t) = -\frac{1}{x^2} (2t + 2) - \frac{1}{y^2} (3t^2) \] Thus, \( z^{\prime}(t) \) is: \[ z^{\prime}(t) = -\frac{2t + 2}{(t^2 + 2t)^2} - \frac{3t^2}{(t^3 - 3)^2} \]

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To differentiate \( z \) with respect to \( x \) using \( z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \), we can apply the derivative rules: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{1}{x^2} \] And since \( y \) is a function of \( t \), we also need to include the derivative of \( y \) with respect to \( x \) when applying the Chain Rule, which is often computed as \( \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} \): \[ \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{1}{y^2} \] Now, using the Chain Rule, you can relate the derivatives of \( z \) to the derivatives of \( t \): To get \( z'(t) \) using the Chain Rule, you’ll need: 1. \( \frac{dx}{dt} = 2t + 2 \) 2. \( \frac{dy}{dt} = 3t^2 \) Combined, the Chain Rule gives: \[ z'(t) = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} \] Inserting the expressions we found: \[ z'(t) = \left(-\frac{1}{x^2}\right)(2t+2) + \left(-\frac{1}{y^2}\right)(3t^2) \] This leads to the complete form for \( z'(t) \): Combine all components to derive the expression for \( z'(t) \).

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