7. Calculez \( \iiint_{E} x^{2} d V \), où \( E \) est le solide à l'intérieur du cylindre \( x^{2}+y^{2}=1 \), au-dessus du plan \( z=0 \) et sous le cône \( z^{2}=4 x^{2}+4 y^{2} \)

Pour résoudre cette intégrale triple, nous devons décrire la région \( E \) en utilisant des coordonnées cylindriques, où \( x = r \cos \theta \), \( y = r \sin \theta \) et \( z = z \). Pour le cylindre \( x^{2} + y^{2} = 1 \), cela donne \( r \leq 1 \). Le cône est décrit par \( z^{2} = 4r^{2} \), donc \( z = 2r \). L'intégrale devient : \[ \iiint_{E} x^{2} \, dV = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \int_{0}^{2r} (r \cos \theta)^{2} \, r \, dz \, dr \, d\theta \] Calculons maintenant cette intégrale. En effectuant l'intégration sur \( z \) de \( 0 \) à \( 2r \): \[ \int_{0}^{2r} (r \cos \theta)^{2} \, r \, dz = \int_{0}^{2r} r^{3} \cos^{2} \theta \, dz = 2r^4 \cos^{2} \theta \] Maintenant, substituons cela dans l'intégrale : \[ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} 2r^4 \cos^{2} \theta \, dr \, d\theta \] Nous devons maintenant faire l'intégration sur \( r \): \[ \int_{0}^{1} 2r^4 \, dr = \left[\frac{2}{5} r^5\right]_{0}^{1} = \frac{2}{5} \] Cela nous laisse avec : \[ \int_{0}^{2\pi} \frac{2}{5} \cos^{2} \theta \, d\theta \] Utilisons la formule \( \int_{0}^{2\pi} \cos^{2} \theta \, d\theta = \pi \). Ainsi, l'intégrale devient : \[ \frac{2}{5} \cdot \pi = \frac{2\pi}{5}. \] Finalement, nous avons \[ \iiint_{E} x^{2} \, dV = \frac{2\pi}{5}. \]