Pregunta
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Simplify. \( \cot ^{2}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\cos ^{2} x \) \( [?]^{2} x \)

Ask by Burns Fernandez. in the United States
Mar 11,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

Responder

The simplified expression is \( \sec^{2}(x) \).

Solución

Calculate or simplify the expression \( \cot^{2}(\frac{\pi}{2}-x)+\cos^{2}(\frac{\pi}{2}-x)+\cos^{2}(x) \). Simplify the expression by following steps: - step0: Solution: \(\cot^{2}\left(\frac{\pi }{2}-x\right)+\cos^{2}\left(\frac{\pi }{2}-x\right)+\cos^{2}\left(x\right)\) - step1: Rewrite the expression: \(\tan^{2}\left(x\right)+\cos^{2}\left(\frac{\pi }{2}-x\right)+\cos^{2}\left(x\right)\) - step2: Rewrite the expression: \(\tan^{2}\left(x\right)+\sin^{2}\left(x\right)+\cos^{2}\left(x\right)\) - step3: Transform the expression: \(\tan^{2}\left(x\right)+1\) - step4: Transform the expression: \(\sec^{2}\left(x\right)-1+1\) - step5: Remove the opposites: \(\sec^{2}\left(x\right)\) The simplified expression is \( \sec^{2}(x) \).

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The Deep Dive

To simplify the expression \( \cot^{2}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\cos^{2}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\cos^{2} x \), we can use trigonometric identities. First, we know that: \[ \cot\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \tan x \] Thus, \[ \cot^{2}\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \tan^{2} x \] Next, we also have: \[ \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \sin x \] Which means: \[ \cos^{2}\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \sin^{2} x \] Putting it all back together, our expression transforms into: \[ \tan^{2} x + \sin^{2} x + \cos^{2} x \] Utilizing the Pythagorean identity \(\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1\), we substitute: \[ \tan^{2} x + 1 \] And since \(\tan^{2} x + 1 = \sec^{2} x\), we finally obtain: \[ \sec^{2} x \] Thus, the simplified expression is: \[ \sec^{2} x \]

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