Colculer : \( \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} d x \)

Pour résoudre l'intégrale \( \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} dx \), nous pouvons commencer par simplifier l'intégrande. Nous avons : \[ \frac{x^{2}}{1+x^{2}} = 1 - \frac{1}{1+x^{2}}. \] Ainsi, nous pouvons réécrire l'intégrale comme suit : \[ \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} dx = \int_{0}^{1} \left(1 - \frac{1}{1+x^{2}}\right) dx. \] Calculons chaque partie séparément : 1. \( \int_{0}^{1} 1 \, dx = [x]_{0}^{1} = 1. \) 2. Pour la deuxième partie, nous avons besoin de l'intégrale \( \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} dx \). Cette intégrale est connue, et sa solution est : \[ \int \frac{1}{1+x^{2}} dx = \tan^{-1}(x). \] Donc, en évaluant entre 0 et 1, nous avons : \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} dx = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}. \] Maintenant, nous pouvons mettre tout ensemble : \[ \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} dx = 1 - \frac{\pi}{4}. \] Par conséquent, la valeur de l'intégrale est : \[ \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} dx = 1 - \frac{\pi}{4}. \]