2. Dentro de un tanque cónico entra agua a razón constante de \( 20 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min} \). Si la altura del recipiente es de 12 metros y el diámetro del cono es de 10 metros ¿Con qué rapidez sube el nivel del agua cuando el líquido tiene una altura de 2 metros?

Para resolver el problema, primero necesitamos entender la relación entre el volumen del agua en el tanque cónico y la altura del agua. El volumen \( V \) de un cono se calcula con la fórmula: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] donde \( r \) es el radio de la base del cono y \( h \) es la altura del cono. Dado que el tanque tiene una altura de 12 metros y un diámetro de 10 metros, el radio de la base del tanque es: \[ r = \frac{10}{2} = 5 \text{ metros} \] Ahora, como el tanque es cónico, la relación entre el radio \( r \) y la altura \( h \) del agua en el tanque se puede establecer usando la semejanza de triángulos. Cuando el agua tiene una altura \( h \), el radio correspondiente \( r \) se puede expresar como: \[ \frac{r}{h} = \frac{5}{12} \implies r = \frac{5}{12} h \] Sustituyendo \( r \) en la fórmula del volumen: \[ V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{5}{12} h\right)^2 h = \frac{1}{3} \pi \frac{25}{144} h^3 = \frac{25\pi}{432} h^3 \] Ahora, para encontrar la rapidez con la que sube el nivel del agua \( \frac{dh}{dt} \), utilizamos la relación entre el volumen y la altura. Sabemos que el agua entra al tanque a una tasa constante de \( \frac{dV}{dt} = 20 \, \mathrm{m}^3/\mathrm{min} \). Aplicamos la regla de la cadena para relacionar \( \frac{dV}{dt} \) y \( \frac{dh}{dt} \): \[ \frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dh} \cdot \frac{dh}{dt} \] Primero, calculamos \( \frac{dV}{dh} \): \[ \frac{dV}{dh} = \frac{25\pi}{432} \cdot 3h^2 = \frac{75\pi}{432} h^2 \] Ahora, sustituimos \( h = 2 \) metros en \( \frac{dV}{dh} \): \[ \frac{dV}{dh} \bigg|_{h=2} = \frac{75\pi}{432} (2^2) = \frac{75\pi}{432} \cdot 4 = \frac{300\pi}{432} = \frac{25\pi}{36} \] Ahora, sustituimos en la ecuación de la tasa de cambio de volumen: \[ 20 = \frac{25\pi}{36} \cdot \frac{dh}{dt} \] Despejamos \( \frac{dh}{dt} \): \[ \frac{dh}{dt} = \frac{20 \cdot 36}{25\pi} = \frac{720}{25\pi} = \frac{144}{5\pi} \, \mathrm{m/min} \] Por lo tanto, la rapidez con la que sube el nivel del agua cuando el líquido tiene una altura de 2 metros es: \[ \frac{dh}{dt} \approx \frac{144}{5\pi} \, \mathrm{m/min} \approx 9.15 \, \mathrm{m/min} \] Así que la respuesta final es: \[ \frac{dh}{dt} \approx 9.15 \, \mathrm{m/min} \]