Exercice 3 Yasmine possede une très grande feuille de papier qui mesure $$ 0,1 \mathrm{~mm} $$ d'épaisseur. Elle plie cette feuille en deux, puis de nouveau en deux, puis encore en deux et ainsi de suite pour former une pile ayant une certaine epaisseur. Combien de pliages Yasmine doit-elle faire pour obtenir une pile de papier plus haute que la tour Eiffel ?

Question

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1. Initialement, l'épaisseur de la feuille est 
   $$
   e_0 = 0,1\,\mathrm{mm} = 0,0001\,\mathrm{m}.
   $$

2. À chaque pliage, la feuille est pliée en deux, ce qui double son épaisseur. Ainsi, après $$ n $$ pliages, l'épaisseur devient 
   $$
   e(n) = 0,0001 \times 2^n \quad \text{(en mètres)}.
   $$

3. La tour Eiffel mesure environ $$324\,\mathrm{m}$$. Pour que la pile dépasse cette hauteur, il faut que 
   $$
   0,0001 \times 2^n > 324.
   $$

4. Isolons $$ 2^n $$ dans l'inégalité :
   $$
   2^n > \frac{324}{0,0001} = 324 \times 10^4 = 3\,240\,000.
   $$

5. Pour résoudre l'inégalité, appliquons le logarithme (base $$2$$) :
   $$
   n > \log_2(3\,240\,000).
   $$

6. Calculons une approximation de ce logarithme :
   $$
   \log_2(3\,240\,000) = \frac{\ln(3\,240\,000)}{\ln(2)}.
   $$
   On peut estimer :
   $$
   \ln(3\,240\,000) \approx \ln(3,24) + \ln(10^6) \approx 1,175 + 13,8155 = 14,9905,
   $$
   et comme 
   $$
   \ln(2) \approx 0,6931,
   $$
   alors
   $$
   n > \frac{14,9905}{0,6931} \approx 21,64.
   $$

7. Comme $$ n $$ doit être un entier, le minimum de $$ n $$ pour que la pile dépasse la hauteur de la tour Eiffel est 
   $$
   n = 22.
   $$

Yasmine doit donc effectuer $$ 22 $$ pliages.
Yasmine doit faire 22 pliages pour que la pile de papier dépasse la hauteur de la tour Eiffel.

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