Responder
**Vraag 2:**
Die eerste term van 'n meetkundige ry is 3 en die som van die tweede en derde terme is 60. Die eerste drie terme en die algemene term word as volg bepaal:
1. **Eerste moontlike meetkundige ry:**
- Eerste drie terme: 3, 12, 48
- Algemene term: \( \mathrm{T}_{n} = 3 \cdot 4^{(n-1)} \)
2. **Tweede moontlike meetkundige ry:**
- Eerste drie terme: 3, -15, 75
- Algemene term: \( \mathrm{T}_{n} = 3 \cdot (-5)^{(n-1)} \)
Beide reekse voldoen aan die gegee voorwaardes.
Solución
**Vraag 2:**
Die eerste term van 'n meetkundige ry is 3 en die som van die tweede en derde term is 60. Ons sal die eerste drie terme en die algemene term, \( \mathrm{T}_{n} \), bepaal.
**Stappe:**
1. **Formule vir die \( n \)-de term van 'n meetkundige ry:**
\[
\mathrm{T}_{n} = a \cdot r^{(n-1)}
\]
Waar:
- \( a \) = eerste term
- \( r \) = algemene faktor (verhouding)
2. **Gegewens:**
- Eerste term (\( a \)) = 3
- Som van die tweede en derde terme = 60
3. **Bereken die tweede en derde terme:**
\[
\mathrm{T}_{2} = 3 \cdot r
\]
\[
\mathrm{T}_{3} = 3 \cdot r^{2}
\]
4. **Stel die som op:**
\[
\mathrm{T}_{2} + \mathrm{T}_{3} = 60
\]
\[
3r + 3r^{2} = 60
\]
\[
r^{2} + r - 20 = 0
\]
5. **Los die kwadratiese vergelyking op:**
\[
r = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}
\]
Waar \( a = 1 \), \( b = 1 \), en \( c = -20 \):
\[
r = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}
\]
\[
r = \frac{-1 \pm 9}{2}
\]
**Twee moontlike waardes vir \( r \):**
- \( r = \frac{8}{2} = 4 \)
- \( r = \frac{-10}{2} = -5 \)
6. **Bepaal die eerste drie terme en die algemene term vir elke geval:**
**Geval 1: \( r = 4 \)**
- Eerste term: \( \mathrm{T}_{1} = 3 \)
- Tweede term: \( \mathrm{T}_{2} = 3 \cdot 4 = 12 \)
- Derde term: \( \mathrm{T}_{3} = 3 \cdot 4^{2} = 48 \)
- Algemene term:
\[
\mathrm{T}_{n} = 3 \cdot 4^{(n-1)}
\]
**Geval 2: \( r = -5 \)**
- Eerste term: \( \mathrm{T}_{1} = 3 \)
- Tweede term: \( \mathrm{T}_{2} = 3 \cdot (-5) = -15 \)
- Derde term: \( \mathrm{T}_{3} = 3 \cdot (-5)^{2} = 75 \)
- Algemene term:
\[
\mathrm{T}_{n} = 3 \cdot (-5)^{(n-1)}
\]
**Opsomming:**
1. **Eerste moontlike meetkundige ry:**
- Eerste drie terme: 3, 12, 48
- Algemene term: \( \mathrm{T}_{n} = 3 \cdot 4^{(n-1)} \)
2. **Tweede moontlike meetkundige ry:**
- Eerste drie terme: 3, -15, 75
- Algemene term: \( \mathrm{T}_{n} = 3 \cdot (-5)^{(n-1)} \)
Beide reekse voldoen aan die voorwaardes dat die eerste term 3 is en die som van die tweede en derde terme 60 is.
Revisado y aprobado por el equipo de tutoría de UpStudy
Explicar
Simplifique esta solución
