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Find the equation of the line tangent to the graph of \( f(x)=3 x^{2}-7 \) at \( x=2 \). Use the point-slope form. Include a multiplication sign between symbols. For example, \( a^{*} x \).

Ask by Osborne Mcdonald. in the United States
Mar 13,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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The equation of the tangent line is \( y - 5 = 12(x - 2) \).

Solución

1. Start with the function: \[ f(x)=3 * x^{2}-7 \] 2. Compute the derivative to find the slope of the tangent line: \[ f'(x)=6 * x \] 3. Evaluate the derivative at \( x=2 \) to get the slope: \[ f'(2)=6 * 2=12 \] 4. Find the point on the curve at \( x=2 \): \[ f(2)=3 * (2)^{2}-7=3 * 4-7=12-7=5 \] So the point is \( (2, 5) \). 5. Use the point-slope form of the equation of a line: \[ y-y_{1}=m*(x-x_{1}) \] where \( m=12 \) and \( (x_{1}, y_{1})=(2, 5) \). 6. Substitute the values into the point-slope form: \[ y-5=12*(x-2) \] Thus, the equation of the tangent line is: \[ y-5=12*(x-2) \]

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Bonus Knowledge

To find the equation of the tangent line, we first need the derivative of \( f(x) = 3 x^{2} - 7 \). The derivative, \( f'(x) \), is calculated as follows: \[ f'(x) = 6 x. \] Next, we evaluate the derivative at \( x = 2 \): \[ f'(2) = 6 \times 2 = 12. \] This means the slope of the tangent line at \( x = 2 \) is \( 12 \). Now, we calculate \( f(2) \): \[ f(2) = 3 \times (2^{2}) - 7 = 3 \times 4 - 7 = 12 - 7 = 5. \] Now we have a point on the tangent line, \( (2, 5) \), and the slope \( 12 \). The point-slope form of the line is given by: \[ y - y_{1} = m \times (x - x_{1}), \] where \( m \) is the slope and \( (x_{1}, y_{1}) \) is the point. Substituting in our values: \[ y - 5 = 12 \times (x - 2). \] This is the equation of the tangent line in point-slope form!

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