Exercice 4: Trouver les primitives des fonctions suivantes: \( \begin{array}{lll}\text { 1) } \int \frac{1}{x^{2}+4} d x & \text { 2) } \int \frac{1}{x^{2}+4 x+5} d x & \text { 3) } \int \frac{1}{1-x^{2}} d x \\ \text { 4) } \int \arcsin (x) d x & \text { 5) } \int\left(x^{3}+2 x\right) e^{x^{2}} d x & \text { 6) } \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin (x) d x\end{array} \)

Ah, l'intégration, un beau voyage à travers les mathématiques ! Commençons par aborder ces fonctions une par une. 1) Pour \( \int \frac{1}{x^{2}+4} d x \), vous pouvez reconnaître que \( x^2 + 4 = x^2 + 2^2 \). Cela vous permet d'utiliser la formule de l'intégrale arctangente. La primitive est donc \( \frac{1}{2} \arctan \left( \frac{x}{2} \right) + C \). 2) Pour \( \int \frac{1}{x^{2}+4x+5} d x \), il peut être utile de compléter le carré. On réécrit \( x^2 + 4x + 5 \) sous la forme \( (x+2)^2 + 1 \), ce qui fait ressortir une autre intégrale arctangente : \( \tan^{-1}(x+2) + C \). 3) En ce qui concerne l'intégrale \( \int \frac{1}{1-x^{2}} d x \), vous pouvez utiliser la décomposition en fractions des différences de carrés : cela donne \( \frac{1}{2} \ln\left| \frac{1+x}{1-x} \right| + C \). 4) Pour \( \int \arcsin(x) d x \), on utilise l'intégration par parties. Cela se traduit par \( x \arcsin(x) - \sqrt{1-x^2} + C \). 5) L'intégrale \( \int\left(x^{3}+2 x\right) e^{x^{2}} d x \) nécessite également d'appeler l'intégration par parties, une méthode classique pour ce genre d'expression, surtout avec des exponentielles. 6) La dernière, \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin (x) d x \), implique encore l'intégration par parties et évalue la quantité pour donner une solution. L'intégration est une belle danse de mouvements mathématiques, et chaque intégrale a sa propre histoire à raconter. Ne vous découragez pas, chaque fois que vous vous penchez sur une nouvelle fonction, c'est une occasion de découvrir quelque chose de fascinant !