A rendre le vendredi $$ 21 / 03 $$ Exercice 1 Probabilités et In Chaque semaine, un agriculteur propose en vente directe à chacun de ses clients un panier de produits frais qui contient une seule bouteille de jus de fruits en verre incassable, qu'il demande de rapporter une fois vide. On suppose que le nombre de clients de l'agriculteur reste constant. Une étude statistique réalisée donne les résultats suivants : - à l'issue de la dre semaine, la probabilité qu' un client rapporte la bouteille de son panier est 0,9 ; - si le client a rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu'il ramène la bouteille de son panier la semaine suivante est 0,95 ; - si le client n'a pas rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu'il ramène la bouteille de son panier la semaine suivante est 0,2 . On choisit au hasard un client parmi la clientèle de l'agriculteur. Pour tout entier $$ n $$ on nul, on note $$ R_{n} $$ l'événement «le le client rapporte la bouteille de son panier de la $$ n $$-ième semaine ». On note $$ r_{n}=P\left(R_{n} ight) $$. 1. Justifier que, pour tout entier naturel $$ n $$ non nul : $$ r_{n+1}=0,75 r_{n}+0,2 $$. (Indication : penser à utiliser un arbre pondéré.) 2. Démontrer que, pour tout entier naturel $$ n $$ non nul : $$ r_{n}=0,1 imes 0,75^{n-1}+0,8 $$. 3. a. Écrire un algorithme qui permet de déterminer le plus petit rang $$ n $$ à partir duquel tous les termes de la suite sont inférieurs à 0,80001 . b. Retrouver ce résultat par le calcul et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.

Question

A rendre le vendredi $$ 21 / 03 $$ Exercice 1 Probabilités et In Chaque semaine, un agriculteur propose en vente directe à chacun de ses clients un panier de produits frais qui contient une seule bouteille de jus de fruits en verre incassable, qu'il demande de rapporter une fois vide. On suppose que le nombre de clients de l'agriculteur reste constant. Une étude statistique réalisée donne les résultats suivants : - à l'issue de la dre semaine, la probabilité qu' un client rapporte la bouteille de son panier est 0,9 ; - si le client a rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu'il ramène la bouteille de son panier la semaine suivante est 0,95 ; - si le client n'a pas rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu'il ramène la bouteille de son panier la semaine suivante est 0,2 . On choisit au hasard un client parmi la clientèle de l'agriculteur. Pour tout entier $$ n $$ on nul, on note $$ R_{n} $$ l'événement «le le client rapporte la bouteille de son panier de la $$ n $$-ième semaine ». On note $$ r_{n}=P\left(R_{n}ight) $$. 1. Justifier que, pour tout entier naturel $$ n $$ non nul : $$ r_{n+1}=0,75 r_{n}+0,2 $$. (Indication : penser à utiliser un arbre pondéré.) 2. Démontrer que, pour tout entier naturel $$ n $$ non nul : $$ r_{n}=0,1 	imes 0,75^{n-1}+0,8 $$. 3. a. Écrire un algorithme qui permet de déterminer le plus petit rang $$ n $$ à partir duquel tous les termes de la suite sont inférieurs à 0,80001 . b. Retrouver ce résultat par le calcul et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.

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Pour résoudre cet exercice, nous allons suivre les étapes demandées. ### 1. Justification de la relation $$ r_{n+1} = 0,75 r_{n} + 0,2 $$ Pour justifier cette relation, nous allons utiliser un arbre pondéré qui représente les différentes situations possibles pour un client au cours de deux semaines consécutives. - **Semaine $$ n $$** : - Le client rapporte la bouteille avec une probabilité $$ r_n $$. - Le client ne rapporte pas la bouteille avec une probabilité $$ 1 - r_n $$. - **Semaine $$ n+1 $$** : - Si le client a rapporté la bouteille la semaine $$ n $$ (probabilité $$ r_n $$), il rapportera la bouteille la semaine suivante avec une probabilité de $$ 0,95 $$ et ne la rapportera pas avec une probabilité de $$ 0,05 $$. - Si le client n'a pas rapporté la bouteille la semaine $$ n $$ (probabilité $$ 1 - r_n $$), il rapportera la bouteille la semaine suivante avec une probabilité de $$ 0,2 $$ et ne la rapportera pas avec une probabilité de $$ 0,8 $$. En utilisant ces probabilités, nous pouvons écrire : $$ r_{n+1} = P(R_{n+1} | R_n) \cdot P(R_n) + P(R_{n+1} | \neg R_n) \cdot P(\neg R_n) $$ En remplaçant par les probabilités : $$ r_{n+1} = 0,95 \cdot r_n + 0,2 \cdot (1 - r_n) $$ En développant cette expression : $$ r_{n+1} = 0,95 r_n + 0,2 - 0,2 r_n $$ $$ r_{n+1} = (0,95 - 0,2) r_n + 0,2 $$ $$ r_{n+1} = 0,75 r_n + 0,2 $$ Ainsi, nous avons justifié que $$ r_{n+1} = 0,75 r_n + 0,2 $$. ### 2. Démonstration de la formule $$ r_n = 0,1 \times 0,75^{n-1} + 0,8 $$ Nous allons résoudre la relation de récurrence $$ r_{n+1} = 0,75 r_n + 0,2 $$ en utilisant la méthode de la solution générale. 1. **Solution homogène** : On cherche une solution de la forme $$ r_n^h = A \cdot 0,75^n $$. 2. **Solution particulière** : On cherche une solution constante $$ r_n^p = B $$. En substituant dans la relation : $$ B = 0,75 B + 0,2 $$ En résolvant pour $$ B $$ : $$ B - 0,75 B = 0,2 $$ $$ 0,25 B = 0,2 \implies B = \frac{0,2}{0,25} = 0,8 $$ La solution générale est donc : $$ r_n = A \cdot 0,75^n + 0,8 $$ Pour déterminer $$ A $$, nous utilisons la condition initiale $$ r_1 = 0,9 $$ : $$ 0,9 = A \cdot 0,75^1 + 0,8 $$ $$ 0,9 - 0,8 = 0,75 A \implies 0,1 = 0,75 A \implies A = \frac{0,1}{0,75} = \frac{2}{15} $$ Ainsi, nous avons : $$ r_n = \frac{2}{15} \cdot 0,75^{n-1} + 0,8 $$ ### 3. a. Algorithme pour déterminer le plus petit rang $$ n $$ Voici un algorithme simple en pseudo-code : ```plaintext n = 1 r_n = 0.9 while r_n >= 0.80001 do r_n = 0.1 * 0.75^(n-1) + 0.8 n = n + 1 end while return n ``` ### 3. b. Calculer et interpréter le résultat Nous allons calculer $$ n $$ tel que $$ r_n < 0,80001 $$. Nous savons que : $$ r_n = 0,1 \times 0,75^{n-1} + 0,8 < 0,80001 $$ En isolant $$ 0,1 \times 0,75^{n-1} $$ : $$ 0,1 \times 0,75^{n-1} < 0,00001 $$ $$ 0,75^{n-1} < 0,0001 $$ Prenons le logarithme : $$ n - 1 > \frac{\log(0,0001)}{\log(0,75)} $$ Calculons cette valeur : $$ \log(0,0001) = -4 \quad \text{et} \quad \log(0,75) \approx -0,1249 $$ Calculons : $$ n - 1 > \frac{-4}{-0,1249} \approx 32,02 $$ Donc : $$ n > 33,02 \implies n \geq 34 $$ ### Interprétation Cela signifie qu'à partir de la 34ème semaine, la probabilité que le client rapporte la bouteille de son panier sera inférieure à $$ 0,80001 $$. Cela peut être interprété comme une diminution de la fidélité des clients à rapporter les bouteilles au fil du temps. Pour chaque semaine, la probabilité qu'un client rapporte la bouteille de son panier est calculée comme suit : $$ r_{n+1} = 0,75 \times r_n + 0,2 $$. En résolvant cette relation, on trouve que $$ r_n = 0,1 \times 0,75^{n-1} + 0,8 $$. Pour déterminer le plus petit rang $$ n $$ où $$ r_n < 0,80001 $$, on trouve que $$ n = 34 $$. Cela signifie que à partir de la 34ème semaine, la probabilité de rapportage de la bouteille est inférieure à 0,80001.

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