Deriva la funcioñ \( y=4 \cot \left(x^{3}-1\right) \)

A continuación, se presenta el procedimiento paso a paso para derivar la función \[ y = 4 \cot\left(x^3 - 1\right) \] ### Paso 1: Identificar la función compuesta La función se puede ver como una función compuesta en la que: - La función externa es \( f(u) = 4 \cot(u) \). - La función interna es \( u = x^3 - 1 \). ### Paso 2: Derivar la función externa Recordamos que la derivada de \(\cot(u)\) respecto a \(u\) es: \[ \frac{d}{du} \cot(u) = -\csc^2(u) \] Entonces, derivando la función externa \( f(u) = 4 \cot(u) \) tenemos: \[ f'(u) = 4 \cdot \left(-\csc^2(u)\right) = -4 \csc^2(u) \] ### Paso 3: Derivar la función interna La función interna es: \[ u = x^3 - 1 \] Derivamos \( u \) con respecto a \( x \): \[ \frac{du}{dx} = 3x^2 \] ### Paso 4: Aplicar la regla de la cadena La regla de la cadena establece que: \[ \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot \frac{du}{dx} \] Sustituimos \( f'(u) \) y \(\frac{du}{dx}\): \[ \frac{dy}{dx} = \left(-4 \csc^2(u)\right) \cdot \left(3x^2\right) \] Recordamos que \( u = x^3 - 1 \), por lo tanto: \[ \frac{dy}{dx} = -12x^2 \csc^2\left(x^3 - 1\right) \] ### Resultado Final La derivada de la función \( y=4 \cot\left(x^3 - 1\right) \) es: \[ y' = -12x^2 \csc^2\left(x^3 - 1\right) \]