7. Laura tiene dos cuentas en las cuales puede invertir su dinero: la primera cuenta genera una tasa de interés del \( 8 \% \); la segunda cuenta otorga una tasa de interés del \( 10 \% \). Se sabe que en el primero de enero de 2005 , misma fecha en la cual dejó de hacer depósitos, la cantidad de dinero que había en su cuenta 1 era el doble que el dinero en su cuenta 2 . De igual forma se sabe que el primero de enero de 2013 la suma del dinero en las dos cuentas era de \( \$ 75,000 \). Determine la cantidad de dinero que estaba disponible en la segunda cuenta el primero de enero de 2005 .

Para resolver este problema, asignemos variables a las cantidades en las cuentas de Laura al 1 de enero de 2005. Digamos que la cantidad en la cuenta 2 es \( x \). Por lo tanto, en la cuenta 1, que era el doble, habría \( 2x \). Desde el 1 de enero de 2005 hasta el 1 de enero de 2013 han pasado 8 años. La cuenta 1 tiene un interés del \( 8\% \) y la cuenta 2 del \( 10\% \). Entonces, el monto en cada cuenta al 1 de enero de 2013 se puede calcular usando la fórmula de interés compuesto: 1. Monto en la cuenta 1: \[ M_1 = 2x (1 + 0.08)^8 \] 2. Monto en la cuenta 2: \[ M_2 = x (1 + 0.10)^8 \] Sabemos que al 1 de enero de 2013, la suma de ambas cuentas es \( 75,000 \): \[ M_1 + M_2 = 75,000 \] \[ 2x(1.08)^8 + x(1.10)^8 = 75,000 \] Calculando \( (1.08)^8 \) y \( (1.10)^8 \): - \( (1.08)^8 \approx 1.85093 \) - \( (1.10)^8 \approx 2.14359 \) Sustituyendo estos valores: \[ 2x(1.85093) + x(2.14359) = 75,000 \] \[ 3.70186x + 2.14359x = 75,000 \] \[ 5.84545x = 75,000 \] \[ x \approx \frac{75,000}{5.84545} \approx 12,821.29 \] Por lo tanto, la cantidad en la cuenta 2 el 1 de enero de 2005 fue aproximadamente **\$12,821.29**. La cantidad en la cuenta 1 sería \( 2x \), que es aproximadamente **\$25,642.58**.