Вычислите определитель \( \left|\begin{array}{ccc}1 & -2 & 4 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & -4 & 1\end{array}\right| \)

Чтобы вычислить определитель данной матрицы, можно использовать правило о том, что определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов. Однако в этом случае у нас не треугольная матрица, поэтому воспользуемся методом разложения по строкам или столбцам. Определитель этой матрицы можно вычислить следующим образом: \[ D = 1 \cdot \left|\begin{array}{cc}3 & -1 \\ -4 & 1\end{array}\right| + (-2) \cdot \left|\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 0 & 1\end{array}\right| + 4 \cdot \left|\begin{array}{cc}0 & 3 \\ 0 & -4\end{array}\right| \] Теперь вычислим определители 2x2: 1. \(\left|\begin{array}{cc}3 & -1 \\ -4 & 1\end{array}\right| = 3 \cdot 1 - (-1) \cdot (-4) = 3 - 4 = -1\) 2. \(\left|\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 0 & 1\end{array}\right| = 0 \cdot 1 - (-1) \cdot 0 = 0\) 3. \(\left|\begin{array}{cc}0 & 3 \\ 0 & -4\end{array}\right| = 0 \cdot (-4) - 3 \cdot 0 = 0\) Теперь подставим значения обратно в формулу для D: \[ D = 1 \cdot (-1) + (-2) \cdot 0 + 4 \cdot 0 = -1 + 0 + 0 = -1. \] Таким образом, определитель данной матрицы равен \(-1\).