2) $$ y=f(x)=12 \cos (3 x+\pi / 4) $$ 3) $$ y=-7 \operatorname{sen}(4 x-\pi / 3) $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

**Función 2: $$ y = 12 \cos\left(3x+\frac{\pi}{4}\right) $$**

1. **Reescribir en forma estándar.**

La forma estándar para funciones trigonométricas es

$$
   y = A \cos \left(B\left(x-d\right)\right),
   $$

donde  
   - $$ A $$ es la amplitud,  
   - $$ B $$ está relacionado con el período, y  
   - $$ d $$ es el desplazamiento horizontal (fase).

En $$ 3x+\frac{\pi}{4} $$ factorizamos $$3$$:

$$
   3x+\frac{\pi}{4} = 3\left(x+\frac{\pi}{12}\right).
   $$

Así, la función se puede escribir como

$$
   y = 12 \cos\left( 3\left(x+\frac{\pi}{12}\right) \right).
   $$

2. **Identificar parámetros.**

- **Amplitud:** $$ |12| = 12 $$.
   - **Período:** Se calcula como

$$
     T = \frac{2\pi}{|B|} = \frac{2\pi}{3}.
     $$

- **Desplazamiento horizontal (fase):** Como tenemos

$$
     x+\frac{\pi}{12}=x- \left(-\frac{\pi}{12}\right),
     $$

el desplazamiento es

$$
     d = -\frac{\pi}{12}.
     $$

Esto significa que la función se ha desplazado $$\frac{\pi}{12}$$ unidades a la izquierda.

---

**Función 3: $$ y = -7 \sen\left(4x-\frac{\pi}{3}\right) $$**

1. **Reescribir en forma estándar.**

El seno en forma estándar es

$$
   y = A \sen \left(B\left(x-d\right)\right).
   $$

En $$ 4x-\frac{\pi}{3} $$ factorizamos $$4$$:

$$
   4x-\frac{\pi}{3} = 4\left(x-\frac{\pi}{12}\right).
   $$

Entonces, la función se puede escribir como

$$
   y = -7 \sen\left( 4\left(x-\frac{\pi}{12}\right) \right).
   $$

2. **Identificar parámetros.**

- **Amplitud:** $$ |-7| = 7 $$. (El signo negativo indica una reflexión vertical, es decir, la función se invierte respecto al eje $$x$$.)
   - **Período:** Se calcula como

$$
     T = \frac{2\pi}{|B|} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}.
     $$

- **Desplazamiento horizontal (fase):** Dado que la función se escribe como $$ \sen\left(4\left(x-\frac{\pi}{12}\right)\right) $$, el desplazamiento es

$$
     d = \frac{\pi}{12}.
     $$

Esto significa que la función se ha desplazado $$\frac{\pi}{12}$$ unidades a la derecha.

---

**Resumen:**

- Para $$ y = 12 \cos\left(3x+\frac{\pi}{4}\right) $$:
  - Amplitud: $$ 12 $$
  - Período: $$ \frac{2\pi}{3} $$
  - Desplazamiento: $$ -\frac{\pi}{12} $$ (hacia la izquierda)

- Para $$ y = -7 \sen\left(4x-\frac{\pi}{3}\right) $$:
  - Amplitud: $$ 7 $$ (con reflexión vertical)
  - Período: $$ \frac{\pi}{2} $$
  - Desplazamiento: $$ \frac{\pi}{12} $$ (hacia la derecha)
**Función 2: $$ y = 12 \cos\left(3x+\frac{\pi}{4}\right) $$** - **Amplitud:** 12 - **Período:** $$ \frac{2\pi}{3} $$ - **Desplazamiento:** $$ -\frac{\pi}{12} $$ (hacia la izquierda) **Función 3: $$ y = -7 \sen\left(4x-\frac{\pi}{3}\right) $$** - **Amplitud:** 7 (con reflexión vertical) - **Período:** $$ \frac{\pi}{2} $$ - **Desplazamiento:** $$ \frac{\pi}{12} $$ (hacia la derecha)

2) \( y=f(x)=12 \cos (3 x+\pi / 4) \) 3) \( y=-7 \operatorname{sen}(4 x-\pi / 3) \)

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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