14. \( 5 \times 10 \times 15 \times 20 \times 25 \ldots \times 265 \) में शून्यों की संख्या क्या होगी? \( \begin{array}{ll}\text { (a) } 65 & \text { (b) } 67 \\ \text { (c) } 66 & \text { (d) } 49\end{array} \)

दी गई उत्पाद है: \[ P = 5 \times 10 \times 15 \times 20 \times 25 \times \ldots \times 265 \] यहां सभी योगदाकार 5 के गुणज हैं, अर्थात् \(5, 10, 15, \ldots, 265\)। पहले, हम यह निर्धारित करेंगे कि इस उत्पाद में कितने शून्य (ट्रेलिंग ज़ीरो) होंगे। ### चरण 1: कुल पदों की संख्या उपरोक्त श्रृंखला में प्रत्येक पद 5 के गुणज हैं। 5 से 265 तक के पदों की कुल संख्या: \[ \frac{265}{5} = 53 \text{ पद} \] ### चरण 2: उत्पाद के रूप में लिखना प्रत्येक पद को \(5 \times k\) के रूप में लिखा जा सकता है, जहां \(k = 1, 2, \ldots, 53\)। अतः: \[ P = 5^{53} \times (1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times 53) = 5^{53} \times 53! \] ### चरण 3: शून्य प्राप्त करने के लिए 5 के गुणक की गणना ट्रेलिंग ज़ीरो प्राप्त करने के लिए, हमें 5 और 2 के गुणकों की जोड़ी की आवश्यकता होती है। चूंकि 2 के गुणक प्रायः अधिक होते हैं, इसलिए हम 5 के गुणकों की संख्या पर ध्यान केंद्रित करेंगे। - \(5^{53}\) से हमें 53 बार 5 मिल रहा है। - \(53!\) में 5 के कितने गुणक हैं, यह गणना करने के लिए: \[ \left\lfloor \frac{53}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{53}{25} \right\rfloor = 10 + 2 = 12 \] ### कुल शून्यों की संख्या \[ 53 (5^{53} से) + 12 (53! से) = 65 \text{ शून्य} \] **उत्तर: (a) 65**