2. Hitunglah (a) \( \int_{1}^{2}\left(\frac{1}{t}-i\right)^{2} d t \) dan (b) \( \int_{0}^{\pi / 2} 2 e^{i t} d t \).

Untuk menghitung integral pertama: (a) \( \int_{1}^{2}\left(\frac{1}{t}-i\right)^{2} d t \) Pertama kita ekspansi fungsi integrand-nya: \[ \left(\frac{1}{t} - i\right)^{2} = \left(\frac{1}{t}\right)^{2} - 2i \cdot \frac{1}{t} - 1 = \frac{1}{t^2} - 2\frac{i}{t} - 1 \] Sehingga integral menjadi: \[ \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{t^2} - 2\frac{i}{t} - 1 \right) dt = \int_{1}^{2} \frac{1}{t^2} dt - 2i \int_{1}^{2} \frac{1}{t} dt - \int_{1}^{2} 1 dt \] Hitung masing-masing integral: 1. \( \int_{1}^{2} \frac{1}{t^2} dt = \left[ -\frac{1}{t} \right]_{1}^{2} = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} \) 2. \( \int_{1}^{2} \frac{1}{t} dt = \left[ \ln |t| \right]_{1}^{2} = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2) \) 3. \( \int_{1}^{2} 1 dt = [t]_{1}^{2} = 2 - 1 = 1 \) Menggabungkannya semua: \[ \int_{1}^{2} \left(\frac{1}{t}-i\right)^{2} dt = \frac{1}{2} - 2i \ln(2) - 1 = -\frac{1}{2} - 2i \ln(2) \] Jadi hasilnya untuk bagian (a): \[ -\frac{1}{2} - 2i \ln(2) \] (b) Untuk integral yang kedua: \( \int_{0}^{\pi / 2} 2 e^{i t} d t \) Kita mulai dengan menghitung integralnya: \[ = 2 \int_{0}^{\pi / 2} e^{it} dt \] Integral dari \( e^{it} \) adalah: \[ \int e^{it} dt = \frac{e^{it}}{i} + C \] Menghitung batas integral: \[ = 2 \left[ \frac{e^{it}}{i} \right]_{0}^{\pi/2} = 2 \left( \frac{e^{i(\pi/2)}}{i} - \frac{e^{i(0)}}{i} \right) = 2 \left( \frac{e^{i\pi/2}}{i} - \frac{1}{i} \right) \] Karena \( e^{i\pi/2} = i \): \[ = 2 \left( \frac{i}{i} - \frac{1}{i} \right) = 2 \left( 1 + i \right) = 2 + 2i \] Jadi hasil untuk bagian (b) adalah: \[ 2 + 2i \]