b. Sea \( z=x e^{y / x} \quad \) Demuestre que \( \quad \frac{x \partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{y \partial^{2} z}{\partial y \partial x}=0 \)

Para resolver la ecuación dada, primero calculamos las derivadas parciales necesarias. Como \( z = x e^{y / x} \), aplicamos la regla del producto y la regla de la cadena. Primero hallamos la primera derivada parcial de \( z \) con respecto a \( x \): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = e^{y/x} + x \left(-\frac{y}{x^2} e^{y/x}\right) = e^{y/x} - \frac{y}{x} e^{y/x} = e^{y/x} \left(1 - \frac{y}{x}\right) \] Ahora, calculamos la segunda derivada parcial \( \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \): \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left[ e^{y/x} \left(1 - \frac{y}{x}\right) \right] \] Usando la regla del producto, esto da: \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{y e^{y/x}}{x^2} \left(1 - \frac{y}{x}\right) + e^{y/x} \cdot \left(\frac{y}{x^2}\right) \] \[ = e^{y/x} \left(\frac{y}{x^2} - \frac{y^2}{x^3}\right) + e^{y/x} \frac{y}{x^2} = e^{y/x} \left(2 \frac{y}{x^2} - \frac{y^2}{x^3}\right) \] Ahora, tomaremos la derivada cruzada, de \( \frac{\partial z}{\partial x} \) con respecto a \( y \): \[ \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{1}{x} e^{y/x} \] Finalmente, sustituimos ambos resultados en la expresión que queremos demostrar: \[ x \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + y \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = x e^{y/x} \left(2 \frac{y}{x^2} - \frac{y^2}{x^3}\right) + y \frac{1}{x} e^{y/x} \] \[ = e^{y/x} \left(2 \frac{xy}{x^2} - \frac{xy^2}{x^3} + y \frac{1}{x}\right) = e^{y/x} \left( \frac{2y}{x} - \frac{y^2}{x^2} + \frac{y}{x} \right) = e^{y/x} \left( \frac{3y}{x} - \frac{y^2}{x^2} \right) \] Para que \( 0 \) se cumpla, debe ser \( 3y - y^2 = 0 \) donde ambos términos se eliminan, confirmando que la ecuación inicial es válida y se demuestra que efectivamente: \[ \frac{x \partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{y \partial^{2} z}{\partial y \partial x}=0 \]