Ejercicio 2. Una lacultad de la cludad capital tiene 800 nuevos alumnos recién egresados del Bachillerato. El departamento académico de la institución emitió un informe sobre la calificación promedio de los estudiantes ingresantes en su ultimo an̂o de bachillerato, donde se evidencla que la calificación tiene una distribuclón aproximadamente normal \( \mathrm{N}(3.5,2.5) \) Si tornamos una muestra de 40 alumnos ¿Cuál es la probabilldad de que el promedio de calificaciones sea menor que 2.8 ?

La calificación individual de los alumnos se distribuye aproximadamente como N(3.5, 2.5). Aquí, la notación N(μ, σ²) significa que la media es 3.5 y la varianza es 2.5, por lo que la desviación estándar es σ = √2.5 ≈ 1.5811. Cuando extraemos una muestra de n = 40 alumnos, el promedio muestral (X̄) tiene una distribución normal con media μₓ̄ = 3.5 y una desviación estándar (error estándar) de:   σₓ̄ = σ / √n = √2.5 / √40 = √(2.5/40) = √0.0625 = 0.25. Queremos encontrar la probabilidad de que el promedio de calificaciones sea menor que 2.8, es decir, P(X̄ < 2.8). Para ello, estandarizamos usando la fórmula:   z = (X̄ - μₓ̄) / σₓ̄ = (2.8 - 3.5) / 0.25 = (-0.7) / 0.25 = -2.8. Así, buscamos P(z < -2.8) en la tabla de la distribución normal estándar. El valor que encontramos es aproximadamente:   P(z < -2.8) ≈ 0.0026. Por lo tanto, la probabilidad de que el promedio de calificaciones de una muestra de 40 alumnos sea menor que 2.8 es de aproximadamente 0.26%.