Постройте график кусочно заданной функцйи: \[ y=\left\{\begin{array}{l}2 x+13 \text { при } x<-5 \text {, } \\ 3 \text { при }-5 \leqslant x \leqslant 5 \\ 2 x-7 \text { при } x>5\end{array}\right. \] Найдите все значения \( k \), при которых прямая \( y=k x \) пересекает этот график в трёх различных точках.

Чтобы построить график кусочно заданной функции, начнем с каждой части по отдельности: 1. Для \( x < -5 \): график будет линией \( y = 2x + 13 \), которая по существу – прямая с угловым коэффициентом 2, пересекающая ось \( y \) в 13. 2. Для \( -5 \leqslant x \leqslant 5 \): здесь функция постоянна и равна 3. Это означает, что для этого интервала мы получим горизонтальную линию на уровне \( y = 3 \). 3. Для \( x > 5 \): функция превращается в \( y = 2x - 7 \), что также является прямой с угловым коэффициентом 2, которая начинается с точки (5, 3) и идет вверх. Теперь, чтобы исследовать пересечения с прямой \( y = kx \), найдем условия, при которых эта прямая пересекает наш график в трех различных точках. 1. В области \( x < -5 \): прямая \( y = kx \) пересечется с \( y = 2x + 13 \). Подставляем: \( kx = 2x + 13 \). Это дает уравнение \( (k - 2)x = 13 \). Если \( k \neq 2 \), то есть одно решение для \( x \). 2. В области \( -5 \leqslant x \leqslant 5 \): прямая \( y = kx \) пересечется с \( y = 3 \) при \( kx = 3 \), что дает \( x = \frac{3}{k} \). Чтобы \( \frac{3}{k} \) было в пределах от -5 до 5, необходимо, чтобы \( k \) был в пределах \( \left(-\frac{3}{5}, -\infty\right) \cup \left(0, \frac{3}{5}\right) \) для отрицательных \( k \) и \( \left( \frac{3}{5}, +\infty\right) \) для положительных. 3. В области \( x > 5 \): здесь прямая пересекается с \( y = 2x - 7 \). Подставляем: \( kx = 2x - 7 \). Это дает \( (k - 2)x = -7 \). Если \( k \neq 2 \), то также получаем одно решение. Теперь, чтобы у нас было три различных точки пересечения: - Одно решение должно быть в области \( x < -5 \) (при условии \( k \neq 2 \)). - Одно решение должно быть в области \( -5 \leqslant x \leqslant 5 \) (при соответствующих \( k \)). - Одно решение должно быть в области \( x > 5 \) (при условии \( k \neq 2 \)). Таким образом, наиболее удачные значения \( k \) будут ограничены, чтобы мыслимые условия выполнялись: - Нужен строго положительный или отрицательный \( k \) в пределах, таких как \( k < -3/5 \) или \( k > 3/5 \). В заключение, \( k \) должно находиться в диапазоне \( k < -3/5 \) или \( k > 3/5 \), что и обеспечит три пересечения.