Simplifica la siguiente expresión: \( \left(\frac{2}{3}\right)^{5}\left(\frac{2}{3}\right)^{0}\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}\left(\frac{81}{16}\right)^{-2} \) \( \left(\frac{3}{2}\right)^{-5}\left(\frac{2}{3}\right)\left[\left(\frac{2}{3}\right)^{5}\right]^{2}\left(\frac{8}{27}\right)^{3} \)

1. Empezamos simplificando \[ \left(\frac{2}{3}\right)^{5}\left(\frac{2}{3}\right)^{0}\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}\left(\frac{81}{16}\right)^{-2} \] a) Combinamos las potencias con base \(\frac{2}{3}\): \[ \left(\frac{2}{3}\right)^{5+0+(-3)} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \] b) Reescribimos la última potencia: \[ \left(\frac{81}{16}\right)^{-2} = \left(\frac{16}{81}\right)^2 \] Recordamos que \(16=2^4\) y \(81=3^4\), así que \[ \left(\frac{16}{81}\right)^2 = \left(\frac{2^4}{3^4}\right)^2 = \frac{2^8}{3^8} = \left(\frac{2}{3}\right)^8 \] c) Multiplicamos las dos componentes: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^8 = \left(\frac{2}{3}\right)^{2+8} = \left(\frac{2}{3}\right)^{10} \] 2. Ahora simplificamos \[ \left(\frac{3}{2}\right)^{-5}\left(\frac{2}{3}\right)\left[\left(\frac{2}{3}\right)^{5}\right]^{2}\left(\frac{8}{27}\right)^{3} \] a) Convertimos la primera potencia: \[ \left(\frac{3}{2}\right)^{-5} = \left(\frac{2}{3}\right)^5 \] b) La expresión queda: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right) \cdot \left[\left(\frac{2}{3}\right)^{5}\right]^2 \cdot \left(\frac{8}{27}\right)^{3} \] Notamos que: \[ \left[\left(\frac{2}{3}\right)^5\right]^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^{10} \] c) Combinamos las potencias de \(\frac{2}{3}\): \[ \left(\frac{2}{3}\right)^5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^1 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{10} = \left(\frac{2}{3}\right)^{5+1+10} = \left(\frac{2}{3}\right)^{16} \] d) Simplificamos la última potencia: Observamos que \[ \frac{8}{27} = \frac{2^3}{3^3} = \left(\frac{2}{3}\right)^3 \] Entonces, \[ \left(\frac{8}{27}\right)^3 = \left[\left(\frac{2}{3}\right)^3\right]^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^9 \] e) Multiplicamos: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^{16} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^9 = \left(\frac{2}{3}\right)^{16+9} = \left(\frac{2}{3}\right)^{25} \] Respuestas finales: 1. \(\left(\frac{2}{3}\right)^{10}\) 2. \(\left(\frac{2}{3}\right)^{25}\)