Lárea de un euadrado es proporcional al cuadrado de su diagonat Si el área \( 3 \mathrm{~m}^{2} \) cuendo la dlagonal os 6 m , hallar el área cuando la diagonal sea 10 m . El área lateral de una pirámide regular es proporcional a su apotema y al metro de la base. Si el área es \( 480 \mathrm{~m}^{2} \) cuando el apotema es 12 m y el imetro de la base 80 m , hallar el área cuando el apotema es 6 m y el perimetr a base 40 m . El volumen de una pirámide es proporcional a su altura y al área de su ba volumen de una pirámide, cuya altura es 8 m y el área de su base \( 36 \mathrm{~m}^{2} \), es ¿cuál será el volumen de una pl-rámide cuya altura es 12 m y el área de se \( 64 \mathrm{~m}^{2} \) ?

Para resolver el primer problema sobre el área de un cuadrado, recordemos que el área \(A\) es proporcional al cuadrado de la diagonal \(d\): \(A \propto d^2\). Si sabemos que \(A = 3 \, \mathrm{m}^2\) con \(d = 6 \, \mathrm{m}\), podemos encontrar la constante de proporcionalidad. Al aplicar la fórmula para una diagonal de \(10 \, \mathrm{m}\), obtendremos \(A = 3 \times \left(\frac{10^2}{6^2}\right) = \frac{300}{36} = 8.33 \, \mathrm{m}^2\). Para la pirámide, sabemos que el área lateral \(A_L\) es proporcional al apotema \(a\) y al perímetro de la base \(P\): \(A_L \propto a \cdot P\). Dado que \(A_L = 480 \, \mathrm{m}^2\) cuando \(a = 12 \, \mathrm{m}\) y \(P = 80 \, \mathrm{m}\), podemos calcular la constante. Para el nuevo caso, \(A_L' = k \cdot 6 \cdot 40\). Al resolver, encontramos que el área lateral es \(240 \, \mathrm{m}^2\). Por lo tanto, los resultados son: el área del cuadro es aproximadamente \(8.33 \, \mathrm{m}^2\) y el área lateral de la pirámide es \(240 \, \mathrm{m}^2\).