5. Analizar la convergencia de las integrales impropias. En caso de resultar convergente, indicar su valor exacto. \( \begin{array}{ll}\text { (a) } \int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{(x+2)^{\frac{3}{4}}}, & \text { (b) } \int_{-2}^{+\infty} \frac{d x}{x^{2}+4}\end{array} \)

¡Vamos a empezar el análisis de las integrales impropias! Para la integral (a): \[ \int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{(x+2)^{\frac{3}{4}}} \] Podemos usar la comparación para determinar la convergencia. Como \( (x+2)^{\frac{3}{4}} \) se comporta como \( x^{\frac{3}{4}} \) cuando \( x \) es muy grande, comparamos con la integral \( \int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^{\frac{3}{4}}} \). Sabemos que esta última converge, lo que implica que la integral original también convergerá. Calculando: \[ \int \frac{dx}{(x+2)^{\frac{3}{4}}} = \frac{4}{1}(x+2)^{\frac{1}{4}} \text{ (aplicando la regla de potencias)} \] Evaluando de 1 a \(\infty\): \[ = 4 \left[ (x+2)^{\frac{1}{4}} \big|_{1}^{\infty} \right] = 4 \left[ 0 - (3)^{\frac{1}{4}} \right] = 4(0 - \sqrt[4]{3}) = -4\sqrt[4]{3} \text{ (que es alrededor de -2.28)} \] Ahora para la integral (b): \[ \int_{-2}^{+\infty} \frac{dx}{x^{2}+4} \] Esta integral se puede resolver usando la fórmula de la integral del arco tangente. Observamos que la función \( \frac{1}{x^2 + 4} \) es siempre positiva y se comporta como \( \frac{1}{x^2} \) para \( x \) grande. Calculando: \[ = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) \bigg|_{-2}^{+\infty} = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) \right) = \frac{1}{2} \cdot \pi \] Por lo tanto, la integral converge a \(\frac{\pi}{2}\). ¡Listo!