Hallar el angulo de Corte en tre 1) \( y=6-x^{2}=32 \) 2) \( 7 x^{2}+y^{2}=32 \)

Para hallar el ángulo de corte entre las dos curvas, primero necesitamos encontrar sus puntos de intersección. Comenzamos reformulando la primera ecuación: \[ y = 6 - x^2 \quad \text{y} \quad 7x^2 + y^2 = 32 \] Sustituyendo \( y \) en la segunda ecuación: \[ 7x^2 + (6 - x^2)^2 = 32 \] Resolviendo, expandemos: \[ 7x^2 + (36 - 12x^2 + x^4) = 32 \] \[ x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \] Usamos la sustitución \( z = x^2 \): \[ z^2 - 5z + 4 = 0 \] Resolviendo la ecuación cuadrática: \[ z = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \] Obteniendo \( z = 4 \) o \( z = 1 \), es decir, \( x^2 = 4 \) (por lo que \( x = 2 \) o \( x = -2 \)) y \( x^2 = 1 \) (por lo que \( x = 1 \) o \( x = -1 \)). Sustituyendo estos valores de \( x \) en la ecuación de \( y \): 1. Para \( x = 2 \) y \( x = -2 \): \( y = 6 - 4 = 2 \) 2. Para \( x = 1 \) y \( x = -1 \): \( y = 6 - 1 = 5 \) Los puntos de intersección son \( (2, 2) \), \( (-2, 2) \), \( (1, 5) \) y \( (-1, 5) \). Ahora, encontramos las derivadas \( y' \) para cada función en esos puntos: 1. Para \( y = 6 - x^2 \), \( y' = -2x \). 2. Para \( 7x^2 + y^2 = 32 \), derivamos implícitamente: \[ 14x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{14x}{2y} = -\frac{7x}{y} \] Calculamos \( y' \) en los puntos: - En \( (2, 2) \): - \( y'_{1} = -2(2) = -4 \) - \( y'_{2} = -\frac{7(2)}{2} = -7 \) El ángulo \( \theta \) entre dos tangentes se calcula con la fórmula: \[ \tan(\theta) = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| \] Sustituyendo \( m_1 = -4 \) y \( m_2 = -7 \): \[ \tan(\theta) = \left| \frac{-4 - (-7)}{1 + (-4)(-7)} \right| = \left| \frac{3}{1 + 28} \right| = \frac{3}{29} \] Finalmente, el ángulo de corte: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{29}\right) \] Y ¡listo! Ahora ya tienes tu ángulo de corte.