4. Comparación de métodos de integración: Evalúe la siguiente integral utilizando la regla compuesta del trapecio con \( n=3,5,7 \) y la regla de Simpson con \( n=4 \) : \[ \int_{1}^{2}\left(5 x^{3}-x^{2}+3\right) d x \] Compare las soluciones obtenidas con el valor exacto de la integral y calcule el error relativo para cada método y valor de \( n \). Analice cómo varia la precisión al aumentar el número de subdivisiones.

Para resolver este problema, primero calcularemos el valor exacto de la integral. Luego, utilizaremos la regla compuesta del trapecio y la regla de Simpson para estimar el valor de la integral con diferentes valores de \( n \). Finalmente, compararemos las soluciones obtenidas con el valor exacto y calcularemos el error relativo para cada método y valor de \( n \). ### Valor Exacto de la Integral La función a integrar es \( f(x) = 5x^3 - x^2 + 3 \). Para encontrar el valor exacto, integraremos la función: \[ \int (5x^3 - x^2 + 3) dx = \frac{5x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + 3x + C \] Aplicando los límites de integración \( [1, 2] \): \[ \left[ \frac{5x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + 3x \right]_1^2 = \left( \frac{5 \cdot 2^4}{4} - \frac{2^3}{3} + 3 \cdot 2 \right) - \left( \frac{5 \cdot 1^4}{4} - \frac{1^3}{3} + 3 \cdot 1 \right) \] \[ = \left( \frac{80}{4} - \frac{8}{3} + 6 \right) - \left( \frac{5}{4} - \frac{1}{3} + 3 \right) \] \[ = (20 - \frac{8}{3} + 6) - (\frac{5}{4} - \frac{1}{3} + 3) \] \[ = 26 - \frac{8}{3} - \frac{5}{4} + \frac{1}{3} - 3 \] \[ = 23 - \frac{8}{3} - \frac{5}{4} + \frac{1}{3} \] \[ = 23 - \frac{24}{12} - \frac{15}{12} + \frac{4}{12} \] \[ = 23 - \frac{35}{12} \] \[ = 23 - 2.9167 \] \[ = 20.0833 \] El valor exacto de la integral es aproximadamente \( 20.0833 \). ### Regla Compuesta del Trapecio La regla compuesta del trapecio se aplica dividiendo el intervalo de integración en \( n \) subintervalos de igual longitud. La fórmula general es: \[ \int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{h}{2} \left[ f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \ldots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \] donde \( h = \frac{b-a}{n} \) es el ancho de cada subintervalo. #### Para \( n = 3 \): \[ h = \frac{2-1}{3} = \frac{1}{3} \] \[ x_0 = 1, x_1 = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}, x_2 = 1 + 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{3}, x_3 = 2 \] \[ \int_{1}^{2} (5x^3 - x^2 + 3) dx \approx \frac{1}{6} \left[ f(1) + 2f\left(\frac{4}{3}\right) + 2f\left(\frac{5}{3}\right) + f(2) \right] \] \[ \approx \frac{1}{6} \left[ (5 \cdot 1^3 - 1^2 + 3) + 2(5 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^3 - \left(\frac{4}{3}\right)^2 + 3) + 2(5 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^3 - \left(\frac{5}{3}\right)^2 + 3) + (5 \cdot 2^3 - 2^2 + 3) \right] \] \[ \approx \frac{1}{6} \left[ 7 + 2(5 \cdot \frac{64}{27} - \frac{16}{9} + 3)