9)) Determine a para que a equação do \( 2^{\circ} \) grau \( a x^{2}+x+1=0 \) admita duas raizes reais distintas. 10) Sobre a equação \( 2 x^{2}+x-3=0 \), quais são suas raizes?

Solve the quadratic equation by following steps: - step0: Solve by factoring: \(2x^{2}+x-3=0\) - step1: Factor the expression: \(\left(x-1\right)\left(2x+3\right)=0\) - step2: Separate into possible cases: \(\begin{align}&x-1=0\\&2x+3=0\end{align}\) - step3: Solve the equation: \(\begin{align}&x=1\\&x=-\frac{3}{2}\end{align}\) - step4: Rewrite: \(x_{1}=-\frac{3}{2},x_{2}=1\) Solve the equation \( a*x^{2}+x+1=0 \). Solve the equation by following steps: - step0: Solve for \(a\): \(ax^{2}+x+1=0\) - step1: Rewrite the expression: \(x^{2}a+x+1=0\) - step2: Move the expression to the right side: \(x^{2}a=0-\left(x+1\right)\) - step3: Subtract the terms: \(x^{2}a=-x-1\) - step4: Divide both sides: \(\frac{x^{2}a}{x^{2}}=\frac{-x-1}{x^{2}}\) - step5: Divide the numbers: \(a=-\frac{x+1}{x^{2}}\) ### 9) Determinação de \( a \) para que a equação \( a x^{2}+x+1=0 \) admita duas raízes reais distintas Para que a equação quadrática \( a x^{2}+x+1=0 \) tenha duas raízes reais distintas, o discriminante \( \Delta \) deve ser maior que zero. O discriminante é dado por: \[ \Delta = b^{2} - 4ac \] Neste caso, temos: - \( a = a \) - \( b = 1 \) - \( c = 1 \) Portanto, o discriminante é: \[ \Delta = 1^{2} - 4 \cdot a \cdot 1 = 1 - 4a \] Para que haja duas raízes reais distintas, precisamos que: \[ 1 - 4a > 0 \] Resolvendo essa inequação: \[ 1 > 4a \implies a < \frac{1}{4} \] Assim, a condição para que a equação admita duas raízes reais distintas é: \[ a < \frac{1}{4} \] ### 10) Raízes da equação \( 2x^{2}+x-3=0 \) Agora, vamos encontrar as raízes da equação \( 2x^{2}+x-3=0 \). Usando a fórmula quadrática: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \] onde \( a = 2 \), \( b = 1 \) e \( c = -3 \). Primeiro, calculamos o discriminante: \[ \Delta = b^{2} - 4ac = 1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 \] Agora, substituímos na fórmula: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 5}{4} \] Calculando as duas raízes: 1. Para \( x_{1} = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1 \) 2. Para \( x_{2} = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} \) Portanto, as raízes da equação \( 2x^{2}+x-3=0 \) são: \[ x_{1} = 1 \quad \text{e} \quad x_{2} = -\frac{3}{2} \]