6. \( \frac{3\left(\cos 200^{\circ}+i \sin 200^{\circ}\right)}{2\left(\cos 50^{\circ}+i \sin 50^{\circ}\right)} \)

เราจะทำการคำนวณและทำให้สมการ \( \frac{3\left(\cos 200^{\circ}+i \sin 200^{\circ}\right)}{2\left(\cos 50^{\circ}+i \sin 50^{\circ}\right)} \) ให้อยู่ในรูปที่ง่ายขึ้น โดยใช้สูตรของจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบของรูปแบบโพลารี (polar form) ซึ่งสามารถเขียนได้ว่า \( r(\cos \theta + i \sin \theta) \) หรือ \( re^{i\theta} \). ขั้นตอนการคำนวณมีดังนี้: 1. เขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบโพลารี: - \( z_1 = 3(\cos 200^{\circ} + i \sin 200^{\circ}) \) - \( z_2 = 2(\cos 50^{\circ} + i \sin 50^{\circ}) \) 2. คำนวณค่าของ \( z_1 \) และ \( z_2 \) และทำการหารกัน: - \( \frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\cos 200^{\circ} + i \sin 200^{\circ}}{\cos 50^{\circ} + i \sin 50^{\circ}} \) 3. ใช้สูตรการหารจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบโพลารี: - \( \frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{2} \left( \cos(200^{\circ} - 50^{\circ}) + i \sin(200^{\circ} - 50^{\circ}) \right) \) 4. คำนวณมุม: - \( 200^{\circ} - 50^{\circ} = 150^{\circ} \) 5. สุดท้ายจะได้: - \( \frac{3}{2} \left( \cos 150^{\circ} + i \sin 150^{\circ} \right) \) เราจะคำนวณค่าของ \( \cos 150^{\circ} \) และ \( \sin 150^{\circ} \) และนำมารวมกัน: Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\cos\left(150\right)\) Calculate or simplify the expression \( \sin(150) \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\sin\left(150\right)\) Calculate or simplify the expression \( \frac{3}{2} * (\cos(150) + i * \sin(150)) \). Simplify the expression by following steps: - step0: Solution: \(\frac{3}{2}\left(\cos\left(150\right)+i\sin\left(150\right)\right)\) - step1: Multiply the numbers: \(\frac{3}{2}\left(\cos\left(150\right)+\sin\left(150\right)\times i\right)\) - step2: Apply the distributive property: \(\frac{3}{2}\cos\left(150\right)+\frac{3}{2}\sin\left(150\right)\times i\) - step3: Multiply: \(\frac{3\cos\left(150\right)}{2}+\frac{3}{2}\sin\left(150\right)\times i\) - step4: Multiply the numbers: \(\frac{3\cos\left(150\right)}{2}+\frac{3\sin\left(150\right)}{2}i\) เราจะคำนวณค่าของ \( \cos(150^{\circ}) \) และ \( \sin(150^{\circ}) \): 1. ค่าของ \( \cos(150^{\circ}) \) คือ \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \) 2. ค่าของ \( \sin(150^{\circ}) \) คือ \( \frac{1}{2} \) ดังนั้นเราจะได้: \[ \frac{3}{2} \left( \cos(150^{\circ}) + i \sin(150^{\circ}) \right) = \frac{3}{2} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + i \cdot \frac{1}{2} \right) \] ซึ่งสามารถเขียนได้เป็น: \[ \frac{3(-\sqrt{3})}{4} + \frac{3}{4}i \] ดังนั้นผลลัพธ์สุดท้ายของการคำนวณคือ: \[ -\frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{3}{4}i \]