1. Encuentre el valor mínimo de \( f(x)=2 x^{3}-3 a x^{2}+2 a^{3} \), en el intervalo \( 0 \leqslant x \leqslant 2 \). Suponga \( a>0 \). \[ \text { Respuesta: }\left\{\begin{array}{l} \text { Cuando } \square, \\ \text { el valor mínimo es } \square, \text { en } x=\square . \\ \text { Cuando } \square, \\ \text { el valor mínimo es } \square, ~ \text { en } x=\square . \end{array}\right. \]

Para encontrar el valor mínimo de la función \( f(x)=2 x^{3}-3 a x^{2}+2 a^{3} \) en el intervalo \( 0 \leqslant x \leqslant 2 \), primero calculamos la derivada de \( f \) y la igualamos a cero. La derivada es: \[ f'(x) = 6x^2 - 6ax. \] Factorizando, tenemos: \[ f'(x) = 6x(x - a). \] Igualando a cero, obtenemos \( x = 0 \) y \( x = a \). Ahora, evaluamos \( f(x) \) en los puntos críticos y en los extremos del intervalo: 1. En \( x = 0 \): \[ f(0) = 2(0)^3 - 3a(0)^2 + 2a^3 = 2a^3. \] 2. En \( x = a \) (considerando \( 0 < a < 2 \)): \[ f(a) = 2a^3 - 3a(a^2) + 2a^3 = 2a^3 - 3a^3 + 2a^3 = a^3. \] 3. En \( x = 2 \): \[ f(2) = 2(2)^3 - 3a(2)^2 + 2a^3 = 16 - 12a + 2a^3. \] Ahora, comparamos los valores: - Si \( a < 2 \): - Cuando \( 0 < a < 2 \), el valor mínimo se da en \( x = a \), y el valor mínimo es \( a^3 \) en \( x=a \). - Si \( a = 2 \): - En este caso, evaluamos \( f(2) = 16 - 12(2) + 2(2)^3 = 16 - 24 + 16 = 8\), y \( f(0) = 2(2)^3 = 16 \). - Por lo tanto, el valor mínimo es \( 8\) en \( x=2 \). Juntando todo, tenemos: \[ \text{Respuesta: }\left\{\begin{array}{l} \text{ Cuando } a < 2, \\ \text{ el valor mínimo es } a^3, \text{ en } x=a. \\ \text{ Cuando } a = 2, \\ \text{ el valor mínimo es } 8, \text{ en } x=2. \end{array}\right. \]