Activité 6 . On admet que $$ \cos \left(\frac{\pi}{5}\right) $$ est la racine positive de l'équation $$ x^{2}+x-1=0 $$. 1. Donner la valeur exacte de $$ \cos \left(\frac{\pi}{5}\right) $$. 2. En déduire la valeur exacte de $$ \sin \left(\frac{\pi}{5}\right) $$. Activité 7 . On admet que $$ \cos \left(\frac{2 \pi}{5}\right) $$ est la racine positive de l'équation $$ 4 x^{2}+2 x-1=0 $$. 1. Donner la valeur exacte de $$ \cos \left(\frac{2 \pi}{5}\right) $$. 2. En déduire la valeur exacte de $$ \sin \left(\frac{2 \pi}{5}\right) $$.

Question

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Pour résoudre les activités 6 et 7, nous allons procéder étape par étape.

### Activité 6

1. **Trouver la valeur exacte de $$ \cos \left(\frac{\pi}{5}\right) $$**

L'équation donnée est $$ x^{2} + x - 1 = 0 $$. Pour trouver les racines de cette équation, nous utilisons la formule quadratique :
   $$
   x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
   $$
   où $$ a = 1 $$, $$ b = 1 $$, et $$ c = -1 $$.

Calculons le discriminant :
   $$
   b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5
   $$

Maintenant, substituons dans la formule :
   $$
   x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}
   $$

Comme nous cherchons la racine positive, nous avons :
   $$
   \cos \left(\frac{\pi}{5}\right) = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}
   $$

2. **Déduire la valeur exacte de $$ \sin \left(\frac{\pi}{5}\right) $$**

Nous savons que $$ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $$. Donc, pour $$ \theta = \frac{\pi}{5} $$ :
   $$
   \sin^2 \left(\frac{\pi}{5}\right) = 1 - \cos^2 \left(\frac{\pi}{5}\right)
   $$

Calculons $$ \cos^2 \left(\frac{\pi}{5}\right) $$ :
   $$
   \cos^2 \left(\frac{\pi}{5}\right) = \left(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{(-1 + \sqrt{5})^2}{4} = \frac{1 - 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}
   $$

Donc :
   $$
   \sin^2 \left(\frac{\pi}{5}\right) = 1 - \frac{3 - \sqrt{5}}{2} = \frac{2}{2} - \frac{3 - \sqrt{5}}{2} = \frac{2 - 3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}
   $$

Ainsi, nous avons :
   $$
   \sin \left(\frac{\pi}{5}\right) = \sqrt{\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}}
   $$

### Activité 7

1. **Trouver la valeur exacte de $$ \cos \left(\frac{2\pi}{5}\right) $$**

L'équation donnée est $$ 4x^{2} + 2x - 1 = 0 $$. Utilisons la formule quadratique :
   $$
   x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
   $$
   où $$ a = 4 $$, $$ b = 2 $$, et $$ c = -1 $$.

Calculons le discriminant :
   $$
   b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 4 + 16 = 20
   $$

Maintenant, substituons dans la formule :
   $$
   x = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}
   $$

Comme nous cherchons la racine positive, nous avons :
   $$
   \cos \left(\frac{2\pi}{5}\right) = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}
   $$

2. **Déduire la valeur exacte de $$ \sin \left(\frac{2\pi}{5}\right) $$**

Utilisons la même relation $$ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $$ pour $$ \theta = \frac{2\pi}{5} $$ :
   $$
   \sin^2 \left(\frac{2\pi}{5}\right) = 1 - \cos^2 \left(\frac{2\pi}{5}\right)
   $$

Calculons $$ \cos^2 \left(\frac{2\pi}{5}\right) $$ :
   $$
   \cos^2 \left(\frac{2\pi}{5}\right) = \left(\frac{-1 + \sqrt{5}}{4}\right)^2 = \frac{(-1 + \sqrt{5})^2}{16} = \frac{1 - 2\sqrt{5} + 5}{16} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{16} = \frac{3 - \sqrt{5}}{8}
   $$

Donc :
   $$
   \sin^2 \left(\frac{2\pi}{5}\right) = 1 - \frac{3 - \sqrt{5}}{8} = \frac{8}{8} - \frac{3 - \sqrt{5}}{8} = \frac{8 - 3 + \sqrt{5}}{8} = \frac{5 + \sqrt{5}}{8}
   $$

Ainsi, nous avons :
   $$
   \sin \left(\frac{2\pi}{5}\right) = \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{8}}
   $$

### Résumé des résultats

- $$ \cos \left(\frac{\pi}{5}\right) = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} $$
- $$ \sin \left(\frac{\pi}{5}\right) = \sqrt{\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}} $$
- $$ \cos \left(\frac{2\pi}{5}\right) = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} $$
- $$ \sin \left(\frac{2\pi}{5}\right) = \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{8}} $$
Pour l'activité 6 : - $$ \cos \left(\frac{\pi}{5}\right) = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} $$ - $$ \sin \left(\frac{\pi}{5}\right) = \sqrt{\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}} $$ Pour l'activité 7 : - $$ \cos \left(\frac{2\pi}{5}\right) = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} $$ - $$ \sin \left(\frac{2\pi}{5}\right) = \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{8}} $$

Activité 6 .
On admet que est la racine positive de l’équation .

Donner la valeur exacte de .

En déduire la valeur exacte de .
Activité 7 .
On admet que est la racine positive de l’équation .

Donner la valeur exacte de .

En déduire la valeur exacte de .

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