шамданыз: \( \left(\operatorname{ctg} \alpha+\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}\right)^{2}-\operatorname{ctg}^{2} \alpha \)

Рассмотрим выражение: \[ \left(\operatorname{ctg} \alpha+\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}\right)^{2}-\operatorname{ctg}^{2} \alpha. \] 1. Перепишем \(\operatorname{ctg} \alpha\) как \(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\). Тогда имеем: \[ \operatorname{ctg} \alpha+\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}+\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}. \] 2. Преобразуем второе слагаемое, умножив числитель и знаменатель на \(1-\cos \alpha\): \[ \frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} \cdot \frac{1-\cos \alpha}{1-\cos \alpha} = \frac{\sin \alpha(1-\cos \alpha)}{1-\cos^2 \alpha}. \] Но \(1-\cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha\), таким образом: \[ \frac{\sin \alpha(1-\cos \alpha)}{\sin^2 \alpha} = \frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}. \] 3. Теперь складываем оба слагаемых: \[ \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}+\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\cos \alpha + 1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha}. \] 4. Подставляем полученный результат в исходное выражение: \[ \left(\frac{1}{\sin \alpha}\right)^2 - \operatorname{ctg}^{2} \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} - \left(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right)^2. \] 5. Приведем выражение к общему знаменателю: \[ \frac{1}{\sin^2\alpha} - \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{1-\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}. \] 6. По тождеству \(1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\) получаем: \[ \frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}=1. \] Ответ: \(1\).